矩阵分析课件3幻灯片.ppt

文档介绍：定义: 设是实数域上的维线性空间对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为与的内积,记为,并且要求内积满足下列运算条件:
第一节:欧氏空间,酉空间
第三章内积空间,正规矩阵与H-阵
容易验证是上的一个内积,从而
成为一个欧氏空间。如果规定
这里是中任意向量, 为任意实数
,当仅当时,我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间。
规定
例 1 在中,对于
容易验证也是上的一个内积
,这样又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在维线性空间中,规定
例 3 在线性空间中,规定
对于这个内积成为一个欧氏空间。
容易验证这是上的一个内积,这样
容易验证是上的一个内积,这样对于这个内积成为一个欧氏空间。
例4:设A为n阶正定矩阵,
规定
容易验证这是内积。
定义: 设是复数域上的维线性空间,对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个复数,这个复数称为与
的内积,记为,并且要求内积满足下列运算条件:
这里是中任意向量, 为任意复数
,只有当时,我们称带有这样内积的维线性空间为酉空间。
欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
例 2 设表示闭区间上的所有
连续复值函数组成的线性空间,定义
容易验证是上的一个内积,从而成为一个酉空间。
例 1 设是维复向量空间,任取
规定
欧氏空间的性质:
酉空间的性质: