文档介绍：2003年6月线性代数()试卷
是非题(每小题3分, 共15分)
1. 设Rn中向量组线性无关, 为不全为零的数,则线性组合( )
,若A2=A则必有A=0 ( )
3. n维向量组中必有一向量可表示为其余
向量的线性组合( )
, V2都是Rn的子空间,若dim V1=dim V2, 则必有V1= V2 ( )
5. 设A是n阶方阵, 是n维向量, 若, 则必有0为A
的一个特征值( )
二. 填空题(每小题5分, 共25分)
=与B=等价,则 k =______
2. n阶行列式
3. 设向量为R3的标准正交基,
则a =______ , b =______
4. 设n阶方阵A有一个特征值-3,则A2+A必有特征值_____
5. a的取值满足______时,为正定矩阵
三. (8分)求向量组的秩和一个极大无关组
四. (10分) 设有非齐次线性方程组,问k为何值时(1) 方程组无解? (2) 方程组有解?并求出通解
五. (8分)解矩阵方程AX =B+X,已知A=,B=
六. (10分) 求一正交变换,将二次型
化为标准形
七. (8分)设R2中的两组基分别为,已知线性变换s 在基下的矩阵为,求s在基下的矩阵
八. (8分)设A为n阶可逆矩阵,为A的一个特征值, 证明:
(1) ; (2) 为A* 的特征值
九. (8分)设欧式空间Rn中的向量组与均线性无关,且内积,
证明:(1) 向量组的任一线性组合与
均正交
(2) 向量组{,}线性无关
2003年6月()答案
.√ 2. × 3. √ 4. × 5. ×
=0, +1, 3. a=2, b =-6, 4. 6 , 5. a >1
三.
∴ r =3, 为极大无关组
四.
(1)k = -1时无解
(2)k≠- 7时,通解 k为任意常数
五.
特征值
标准化后的正交矩阵
作正交变换X= QY , 标准形
七.,
,
八.(1) 设为A的全部特征值,
则
(2) 设x 为A的对应于l0 的特征向量,则Ax =l 0 x
九.(1)
(2)令
仍记(**)
(**)两边与g 作内积,则由(1) ∵α1 ,α2 ,…,αs线性无关,于是将g =0 代回(**)同理可得
故α1 , α2 ,…, αs , β1 , β2 ,…, βt线性无关
2004年4月线性代数()试卷
(每小题3分, 共15分)
,则秩A=秩B ( )
,
则( )
, α2 ,…,αs与α1 , α2 ,…,αs-1等价,则向量组
α1 , α2 ,…,αs线性相关( )
= b(A为n阶方阵,b≠0)的系数行列式|A|=0
则此方程组有无穷多解( )
5. n阶矩阵的一个特征向量只可以属于一个特征值( )
二. 填空题(每小题5分, 共25分)
1. n阶行列式| Dn|=,
, 二次型正定
=,则与A可交换的所有矩阵的一般形式是_______
,C均为n阶可逆矩阵,计算分块矩阵乘积
,且|A|=,则行列式|A*B|=______
三.(10分)设, 问
1. t为何值时线性相关
,求此向量组的秩和一个极大线性无关组
四.(12分)求线性方程组的通解
五.(12分)求一正交变换,将二次型
化为标准形
六.(10分)设与都是R3的基底, 且
1. 求由基到基的过度矩阵
在基的矩阵是A=,
求s在基的矩阵
七.(8分)设向量组α1 , α2 ,…,αt线性无关,证明:向量组
也线性无关
八.(8分)设n阶矩阵B满足B2=B,I为n阶单位矩阵,证明:
≠I,则B不可逆
2. 若A=I + B, 则A可逆,且
2004年4月()答案
.√ 2. × 3. √ 4. × 5. √
., 2., 3., 4. I2n , 5.
t =1时, α1, α2, α3, ,α4线性相关
2. r = 3, α1, α2, α3为极大无关组
通解
五.
特征值
标准化后的正交矩阵
作正交变换X= QY , 标准形
,
即
∵线性无关
于是
故线性无关
, ,则B=I矛盾! ∴B不可逆
2.
2004年