文档介绍：一内容概要
1 向量的概念:(1)定义;(2)与矩阵之间的关系;(3)向量的相等;
2 向量的运算:(1)向量的和、差;(2)向量的数乘;(3)向量的线性运算;
3 向量组的线性关系
线性组合:对于给定的向量组;如果存在一组数使得:
则称向量的一个线性组合,或称可以由向量组:线性表示;
线性相关、线性无关的定义
设是一组n维向量(当然是同型),如果存在一组不全为0的数使得:
则称向量组线性相关
指出,这里一定要注意关键词:(1)它是不全为0的数;(2)存在;至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。
反之则称向量组线性无关,即若要
成立,必有,则称向量组线性无关。
向量组的线性相关性与方程组之间的关系
向量组线性关系式具体表示出来实际上就是一个方程组:
其中:因此,通俗的话来说,向量组线性相关的充要条件是:上述方程组有非0解。
这是判断一个向量组是否线性相关最常用的方法。
向量
设的意义同上,则方程组可表示成:,或
因此向量的充要条件是方程组有解。
如果有唯一的解,则,且表示法是唯一的。
如果方程组有无穷多组解,则,且表示法有无穷多种,此时向量组线性相关。
如果方程组无解,则。
4 关于向量组的等价
设向量组Ⅰ:Ⅱ
如果向量组Ⅱ中每一个向量可以被向量组Ⅰ线性表示,则称向量组Ⅱ可被向量组Ⅰ线性表示。用式子表示就是:
如果Ⅰ与Ⅱ能相互线性表示,则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。
如果向量组Ⅰ与Ⅱ等价,且Ⅱ与Ⅲ等价,则Ⅰ与Ⅲ等价;这就是说,等价具有传递性;
设等价;
则向量组等价;
5 向量组的极大线性无关组
极大线性无关组的定义
向量组Ⅰ:的一个部分组本身是线性无关的,其次再任意添进去一个都线性相关,则称是向量组Ⅰ:的一个极大线性无关组;
特别注意:1 一个向量组若仅含有一个0向量,此时不存在极大线性无关组,或称其极大线性无关组所含有向量的个数为0; 2 若向量组本身是线性无关的,则其极大线性无关组就是该向量组本身;3一个向量组的极大线性无关组可能不止一组,可能有很多组;4 如果向量组Ⅲ与Ⅱ都是向量组Ⅰ的极大线性无关组,那么这两个向量组Ⅱ与Ⅲ是等价的,因而所含有的向量的个数是相同的;
6向量组的秩
向量组秩的定义:向量组Ⅰ:的极大线性无关组所含有的向量的个数称为向量组Ⅰ的秩;
设:Ⅰ:Ⅱ,若Ⅰ可以被Ⅱ线性表示,则
r(Ⅰ)r(Ⅱ);
若向量组Ⅰ与Ⅱ等价,则其秩相同,即等价的向量组其秩是相同的;但注意反之是不能成立的,即两个向量组的秩相同,但未必等价。
7 关于线性相关性常用的结论
若一个向量组仅含有一个向量
若一个向量组含有0向量,则此向量组一定线性相关;
若一个向量组仅含有两个向量,则此向量组线性相关的充要条件是对应分量成比例;
向量组Ⅰ:线性相关的充要条件是:至少有一个向量可被其余向量线性表示;
若向量组Ⅰ:线性无关,而向量组:线性相关,则向量一定可以被线性表示,且表示式是唯一的;
若向量一定可以被线性表示,且表示式是唯一的,则向量组Ⅰ:一定线性无关;
若Ⅰ:中有部分组线性相关,则原向量组一定线性相关;若原向量组Ⅰ:线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关;
若Ⅰ:可被向量组Ⅱ线性表示,且s>t,则Ⅰ:必是线性相关的;即多的能被少的线性表示,则多的向量组一定线性相关;这个定理是比较重要的。
若Ⅰ:是一个n维向量组,且s>n,则此向量组一定线性相关;这是因为Ⅰ:可被线性表示;例如:在三维几何空间中,任意四个向量都是线性相关的,而在二维空间平面上,任意三个向量都是线性相关的;
若Ⅰ:可被向量组Ⅱ线性表示,且Ⅰ线性无关,则必有这只要反证即可:即若s>t ,则应用上面的结论,则Ⅰ线性相关,与条件矛盾;
若Ⅰ:与向量组Ⅱ是等价的,且这两个向量组都是线性无关的,则必有s=t;这只要应用上面的结论即可;
若Ⅰ:与向量组Ⅱ是等价的,则其秩相同。这是因为Ⅰ与Ⅱ等价,那么它们的极大线性无关组也是等价的,因而其秩相同;从而向量组Ⅰ的不同的极大线性无关组所含有向量个数相等;
若Ⅰ:线性无关,则它的延伸组Ⅱ:也必是线性无关,反之若Ⅱ线性相关,则原向量组也必是线性相关;
事实上,这只要考虑方程组Ⅰ:
与方程组Ⅱ:的解集关系即可。显然Z(Ⅱ)Z(Ⅰ)
若向量组Ⅰ:线性无关Z(Ⅰ)=,
又Z(Ⅱ),故Z(Ⅱ)=;另一个同理可证。
设Ⅰ:,则Ⅰ:线性无关的充要条件是:
证明:设
若Ⅰ:线性无关
由这个结论可以得到一个常见问题的一般解法:例如,三个三维向量
要判断它是否线性相关,这只要考虑是否为0即可,如果等于0,那么它是线性相关的,若不是0,则是线性无关的。
8 关于向量空间(数一用)
定义:设V是一个n维向量的一个集合,且非空,如果集合V中