文档介绍：分椰子问题
作者:王****波
工作单位:湖南省沅江市第一中学
性别:男
出生年月:1970年8月
民族:汉
职称:中学一级
邮编:413100
邮箱:342241767@
一、问题的提出
据说,这个问题是英国物理学家狄立克提出来的,由于里面讲到了一个猴子,而它又很幸运,所以也有人称这道题叫《幸运的猴子》。
问题是这样的:
话说某天一艘海盗船被天上砸下来的一头牛给击中了,5个倒霉的家伙只好逃难到一个孤岛,发现岛上孤零零的,幸好还有一棵棵椰子树,还有一只猴子!大家把椰子全部采摘下来放在一起,但是天已经很晚了,所以就先睡觉。
晚上某个家伙悄悄地起床,悄悄地将椰子分成5份,结果发现多一个椰子,顺手就给了幸运的猴子,然后又悄悄地藏了一份,然后把剩下的椰子混在一起放回原处,最后还是悄悄地回去睡觉了。
过了一会儿,另一个家伙也悄悄地起床,悄悄地将剩下的椰子分成5份,结果发现多一个椰子,顺手就又给了幸运的猴子,然后又悄悄地藏了一份,把剩下的椰子混在一起放回原处,最后还是悄悄地回去睡觉了。
又过了一会......
又过了一会...
总之5个家伙都起床过,都做了一样的事情。早上大家都起床,各自心怀鬼胎的分椰子了,这个猴子还真不是一般的幸运,因为这次把椰子分成5分后居然还是多一个椰子,又给它了。
问题来了:这堆椰子最少有多少个?
二、N的准确表达式
我们设椰子总数为N,海盗人数为n,分别叫P1、P2、P3、P4、P5、P6、……、Pn ,将其对应所得椰子记录为:a1、a2、a3、a4、a5、a6、……、an
我们运用表格法来解答这个问题:
P1
P2
P3
P4
……
Pn-1
Pn
猴子
剩余
第1次分配
a1
0
0
0
0
0
0
1
b1
第2次分配
0
a2
0
0
0
0
0
1
b2
第3次分配
0
0
a3
0
0
0
0
1
b3
第4次分配
0
0
0
a4
0
0
0
1
b4
……
……
……
……
……
……
……
……
1
……
第n-1次分配
0
0
0
0
0
an-1
0
1
bn-1
第n次分配
0
0
0
0
0
0
an
1
bn
第n+1次分配
an+1
an+1
an+1
an+1
an+1
an+1
an+1
1
0
显然,
a1=, N=na1+1
b1=(n-1)a1= ;
a2= =,
b2=(n-1)a2=;
a3==
b3=(n-1)a3=;
a4==
b4=(n-1)a4
=
……, ……, ……, ……, ……, ……, ……, ……, ……, ……,……
an==
=
bn=(n-1)an=
an+1=
=
=
其中,
=,
显然,等式右边是一个首项为,公比为的等比数列,其和为,即=
而=
=
所以=
显然,一共分配了n+1次椰子,这是因为每人自己给自己分配了一次椰子,最后大家一起又分配了一次椰子;最后一次分配中,每人都是分an+1个椰子,并且,an+1是一个非零自然数。我们不妨设an+1=K,K是一个非零自然数。
于是,我们有:
=K,
所以:
显然,与互质,
(欲证“与互质”,只须证明“n-1与n互质”,而我们能用反证法很容易地证明“n-1与n互质”。)
所以,=,
=,其中,k,r,t都是非零自然数。
至此,我们得到了N与K的准确表达式,这为求N的最小值做好了准备。
三、几个特殊解
当=2时,解答表格如下:
P1
P2
猴子
剩余
第1次分配
0
1
第2次分配
0
1
第3次分配
1
0
假设=K(非零自然数),则N=8K+7,
则K=1,2,3,……,N=15,23,31, ……,
所以:Kmini=1, Nmini=15
于是得到简明解答表格如下
P1
P2
猴子
剩余
第1次分配
7
0
1
7
第2次分配
0
3
1
3
第3次分配
1
1
1
0
当=3时,解答表格如下:
P1
P2
P3
猴子
剩余
第1次分配
0
0
1
第2次分配
0
0
1
第3次分配
0
0
1
第4次分配
同P3
同P3
1
0
假设=K(非零自然数),则K=,则
显然,与互质,
所以,=,
=,其中,k,r,t都是非零自然数。
则t=1,2,3,……,K=7,15,23,……,r =1,2,3,……,N=79,160,241, ……,则Kmini=7, N