文档介绍：概率算法(简述)
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学****要点
理解产生伪随机数的算法
掌握数值概率算法的设计思想
掌握蒙特卡罗算法的设计思想
掌握拉斯维加斯算法的设计思想
掌握舍伍德算法的设计思想
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随机数
随机数在概率算法设计中扮演着十分重要的角色。在现实计算机上无法产生真正的随机数,因此在概率算法中使用的随机数都是一定程度上随机的,即伪随机数。
线性同余法是产生伪随机数的最常用的方法。由线性同余法产生的随机序列a0,a1,…,an满足
其中b0,c0,dm。d称为该随机序列的种子。如何选取该方法中的常数b、c和m直接关系到所产生的随机序列的随机性能。这是随机性理论研究的内容,已超出本书讨论的范围。从直观上看,m应取得充分大,因此可取m为机器大数,另外应取gcd(m,b)=1,因此可取b为一素数。
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数值概率算法
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用随机投点法计算值
设有一半径为r的圆及其外切四边形。向该正方形随机地投掷n个点。设落入圆内的点数为k。由于所投入的点在正方形上均匀分布,因而所投入的点落入圆内的概率为。所以当n足够大
时,k与n之比就逼近这一概率。从而
double Darts(int n)
{ // 用随机投点法计算值
static RandomNumber dart;
int k=0;
for (int i=1;i <=n;i++) {
double x=();
double y=();
if ((x*x+y*y)<=1) k++;
}
return 4*k/double(n);
}
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计算定积分
设f(x)是[0,1]上的连续函数,且0f(x)1。
需要计算的积分为,积分I等于图中的面积G。
在图所示单位正方形内均匀地作投点试验,则随机点落在曲线下面的概率为
假设向单位正方形内随机地投入n个点(xi,yi)。如果有m个点落入
G内,则随机点落入G内的概率
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解非线性方程组
求解下面的非线性方程组
其中,x1,x2,…,xn是实变量,fi是未知量x1,x2,…,xn的非线性实函数。要求确定上述方程组在指定求根范围内的一组解
在指定求根区域D内,选定一个随机点x0作为随机搜索的出发点。在算法的搜索过程中,假设第j步随机搜索得到的随机搜索点为xj。在第j+1步,计算出下一步的随机搜索增量xj。从当前点xj依xj得到第j+1步的随机搜索点。当x<时,取为所求非线性方程组的近似解。否则进行下一步新的随机搜索过程。
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舍伍德(Sherwood)算法
设A是一个确定性算法,当它的输入实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体,则当问题的输入规模为n时,算法A所需的平均时间为
这显然不能排除存在x∈Xn使得的可能性。希望获得一个概率算法B,使得对问题的输入规模为n的每一个实例均有
这就是舍伍德算法设计的基本思想。当s(n)与tA(n)相比可忽略时,舍伍德算法可获得很好的平均性能。
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舍伍德(Sherwood)算法
复****学过的Sherwood算法:
(1)线性时间选择算法
(2)快速排序算法
有时也会遇到这样的情况,即所给的确定性算法无法直接改造成舍伍德型算法。此时可借助于随机预处理技术,不改变原有的确定性算法,仅对其输入进行随机洗牌,同样可收到舍伍德算法的效果。例如,对于确定性选择算法,可以用下面的洗牌算法shuffle将数组a中元素随机排列,然后用确定性选择算法求解。这样做所收到的效果与舍伍德型算法的效果是一样的。
template<class Type>
void Shuffle(Type a[], int n)
{// 随机洗牌算法
static RandomNumber rnd;
for (int i=0;i<n;i++) {
int j=(n-i)+i;
Swap(a[i], a[j]);
}
}
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跳跃表
舍伍德型算法的设计思想还可用于设计高效的数据结构。
如果用有序链表来表示一个含有n个元素的有序集S,则在最坏情况下,搜索S中一个元素需要(n)计算时间。
提高有序链表效率的一个技巧是在有序链表的部分结点处增设附加指针以提高其搜索性能。在增设附加指针的有序链表中搜索一个元素时,可借助于附加指针跳过链表中若干结点,加快搜索速度。这种增加了向前附加指针的有序链表称为跳跃表。
应在跳跃表的哪些结点增加附加指针以及在该结点处应增加多少指针完全采用随机化方法来确定。这使得跳跃表可在O(logn)平均时间内支持关于有序集的搜索、插入和删除等运算。
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