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时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况,除单频率分量的简单波形外,很难明确提示信号的频率组成和各频率分量大小,而频谱分析能很好的解决此问题。由于从频域能获得的主要是频率信息,所以本节主要介绍频率(周期)的估计与频谱图的生成。
对于给定的时域信号y,可以通过Fourier变换得到频域信息Y。Y可按下式计算
式中,N为样本容量,Δt = 1/Fs为采样间隔。
采样信号的频谱是一个连续的频谱,不可能计算出所有的点的值,故采用离散Fourier变换(DFT),即
式中,Δf = Fs/N。但上式的计算效率很低,因为有大量的指数(等价于三角函数)运算,故实际中多采用快速Fourier变换(FFT)。其原理即是将重复的三角函数算计的中间结果保存起来,以减少重复三角函数计算带来的时间浪费。由于三角函数计算的重复量相当大,故FFT能极大地提高运算效率。
频率、周期的估计
对于Y(kΔf),如果当kΔf = 时,Y(kΔf)取最大值,则为频率的估计值,由于采样间隔的误差,也存在误差,其误差最大为Δf / 2。
周期T=1/f。
从原理上可以看出,如果在标准信号中混有噪声,用上述方法仍能够精确地估计出原标准信号的频率和周期,这个将在下一章做出验证
频谱图
为了直观地表示信号的频率特性,工程上常常将Fourier变换的结果用图形的方式表示,即频谱图。
以频率f为横坐标,|Y(f)|为纵坐标,可以得到幅值谱;
以频率f为横坐标,arg Y(f)为纵坐标,可以得到相位谱;
以频率f为横坐标,Re Y(f)为纵坐标,可以得到实频谱;
以频率f为横坐标,Im Y(f)为纵坐标,可以得到虚频谱。
根据采样定理,只有频率不超过Fs/2的信号才能被正确采集,即Fourier变换的结果中频率大于Fs/2的部分是不正确的部分,故不在频谱图中显示。即横坐标f ∈[0, Fs/2]
为了分析软件的性能并比较时域分析与频域分析各自的优势,本章给出了两种分析方法的频率估计的比较,分析软件的在时域和频域的计算精度问题。
用信号发生器生成标准正弦信号,然后分别进行时域分析与频域分析,得到的结果如图 4所示。从图中可以看出,时域分析的结果为f = ,频域分析的结果为f = ,而标准信号的频率为400Hz,从而对于标准信号时域分析的精度远高于频域分析的精度。
带噪声的正弦信号的频率估计
先成生幅值100的标准正弦信号,再将幅值50的白噪声信号与其混迭,对最终得到的信号进行时域分析与频域分析,结果如图 5所示,可以看出,时域分析的结果为f = ,频域分析的结果为f = ,而标准信号的频率为200Hz,从而对于带噪声的正弦信号频域分析的精度远高于时域分析的精度。
结果分析与结论
在时域,频率估计是使用过零检测的方式计算出,从而对于带噪声的信号既容易造成“误判”,也容易造成“漏判”,且噪声信号越明显,“误判”与“漏判”的可能性越大。但在没有噪声或噪声很小时,时域分析对每个周期长度的检测是没有累积误差的,故随着样本容量的增大,估计的