文档介绍：分类号单位代码 11395
密级学号 0704210116
学生毕业设计(论文)
题目
分块矩阵的性质及其应用
作者
王涛
院(系)
数学与应用数学
专业
数学与应用数学
指导教师
高宏伟
答辩日期
2011年5月31日
摘要
分块矩阵是线性代数中非常重要的一部分内容,分块矩阵的性质是解题最基本的依据,本文通过对各类典型例题的分析和处理,来论述分块矩阵的几个性质及其在高等数学中的应用。
关键词:分块矩阵,性质,应用。
ABSTRACT
The partitioned matrix is linear algebra is an important part of content, the nature of partitioned matrix is the most basic basis, solving all kinds of typical examples in this paper through the analysis and processing, discusses some properties of partitioned matrix and the application in higher mathematics.
Key words:The partitioned matrix, nature, applications.
目录
摘要 I
ABSTRACT II
引言 1
1 分块矩阵的性质及其应用 2
分块矩阵的基本知识及性质 2
分块矩阵的定义及其分块方法 2
分块矩阵的几个运算性质 4
分块矩阵的应用 8
矩阵求逆 8
用分块矩阵解决行列式问题 9
用分块矩阵证明矩阵秩问题 11
在线性相关性及矩阵的分解中的应用 11
结束语 15
参考文献 16
致谢 17
引言
矩阵是高等代数中的一个重要内容,也是研究数学的很多分支问题的工具之一,当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时,用处理一般低阶矩阵的方法,往往比较困难,为了研究问题的方便,也为了显示出矩阵中某些部分的特性,我们常把一个大型矩阵分成若干个子块,把每个子块看作一个元素,从而构成一个分块矩阵,这是处理矩阵问题的重要技巧,利用矩阵的分块,可以把高阶矩阵划分成阶数较低的矩阵。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质,及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的探讨。
1 分块矩阵的性质及其应用

下面我们逐一介绍分块矩阵的定义、分块方法及其它的运算性质。

(1)分块矩阵的定义
定义把一个矩阵A,在行的方向分成s块,在列的方向分成t块,称为A的分块矩阵,记作A=,其中(k=1,2,K,s;l=1,2,K,t)称为A的子块,它们是各种类型的小矩阵。
例把一个5阶矩阵①
用水平和垂直的虚线分成4块,如果记:
= = =0 =
就可以把A看作由上面4个小矩阵所组成,写作:
并称它是A的一个分块矩阵,其中的每一个小矩阵称为A的一个子块。
(2)矩阵的分块方法
常用的矩阵分块方法,除了上例中的4块矩阵,还有以下几种:
1)按行分块
=
其中=[ …] i=1,2,…m
2)按列分块
= 其中=j=1,2,k,s
3)当n阶矩阵C中都集中在主对角线附近,有时也可以分块成下面的对角块矩阵(又称准对角矩阵):
C= 其中是阶方阵(i=1,2,k,m =n)
如:
=
其中=, , ;
矩阵分块的第一个好处就是使得矩阵的结构显得更清楚,如上面的矩阵①中,A的左上角是一个3阶单位阵,左下角是零矩阵。
第二个好处(也是最重要的好处)是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行,从而把高阶矩阵的运算转换为低阶矩阵的运算,这在下面的研究会得到充分的体现。
矩阵分块的目的在于简化矩阵的运算,对矩阵进行分块时,要根据实际需要来进行。

下面我们逐一对分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置以及初等变换这些性质进行介绍:
分块矩阵的加法与数量乘法
设都是矩阵,并且对用同样的方法进行分块:

其中,都是矩阵,即,是同型矩阵,那么
=
设是矩阵,把进行分块:
,a为任意数,则a
分块矩阵的乘法
下面的定理表明,分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法。
定理设是矩阵,是矩阵,若对作如下分块:
……
= = ①
则=,其中G=(i=1,2,…r;j=1,2,…t)②
证明记…
G=