文档介绍：丽水学院2012届学生毕业论文矩阵对角化及应用理学院数学082缪仁东指导师:陈巧云摘要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,,,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,,,使X-1AX为对角矩阵,,λ是一个数,如果方程组AX=λX(1)存在非零解向量,则称λ为的A一个特征值,相应的非零解向量X称为属于特征值λ的特征向量.(1)式也可写成,(λE-A)X=0(2)这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式λE-A=0,(3)丽水学院2012届学生毕业论文λ-a11即-a21-an1-a12λ-a22-an2-a1n-a2n=0λ-ann上式是以λ为未知数的一元n次方程,-λE是λ的n次多项式,记作f(λ),-a11fA(λ)=|λE-A|=-a12-a1n-a2n-a21-an1λ-a22-an2λ-ann+an-1λ+an=λn+a1λn-1+显然,,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,=(aij)的特征值为λ1,λ2,(ⅰ)λ1+λ2+(ⅱ)λ1λ2λn,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明+ann;+λn=a11+a22+λn=,则λ一定是方程A-λE=0的根,因此又称特征根,若λ为方程A-λE=0的ni重根,(A-λE)X=0的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A的全部特征值和特征向量的方法如下:第一步:计算A的特征多项式第二步:求出特征方程第三步:对于λE-A;λE-A=0的全部根,即为A的全部特征值;的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组:(λE-A)X=0的一个基础解系ξ1,ξ2,k1ξ1+k,ξs,+2+ksξs(其中k1,k2,,ks是不全为零的任意实数)设P是数域,Mn(P)是P上n×n矩阵构成的线性空间,A∈Mn(P),λ1,λ2,,λt为A的t个互不相同的特征值,高等代数第二版(北京大学数学系几何与代数教研室编)第四版(张和瑞、郝炳新编)课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如:(1)A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量;(2)A可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n;丽水学院2012届学生毕业论文(3)A可对角化当且仅当A的初等因子是一次的;(4)A可对角化当且仅当A的最小多项式无重根我们知道线性变换A的特征多项式为f(λ),它可分解成一次因式的乘积f(λ)=(λ-λ1)r1(λ-λ2)r2(λ-λi)ri则V可分解成不变子空间的直和i其中Vi={ξ|(A-λiE)=V=V1⊕V2⊕r⊕Vs;ξ∈V}:设A,B都是n阶矩阵,则秩(AB)≥秩(A)+秩(B)-:设A是实数域F上的一个n阶矩阵,A的特征根全在F内,若λ1,λ2,...,λK是A的全部不同的特征根,其重数分别为r1,r2,...rk,那么⎛⎫(Ⅰ)可对角化的充要条件是秩∏(λiE-A)⎪=rjj=1,2,.......k⎝i≠j⎭(Ⅱ)当(1)式成立时,∏(λE-A)≠j证明:(Ⅰ)设A可对角化,则存在可逆阵T,使T-1AT=diag{λ1E1,λ2E2,...,λkEK}这里右边是分块对角矩阵,Ej为ri阶单位阵,于是有⎛-1⎛⎛⎫⎫⎫⎛⎫秩∏(λiE-A)⎪=秩T∏(λiE-A)⎪T⎪=秩∏(λiE-T-1AT)⎪⎪⎝i≠j⎭⎝i≠j⎭⎭⎝i≠j⎭⎝⎛⎫=秩∏(λiE-diag{λ1E,λ2E2,...,λKEK})⎪⎝i≠j⎭=秩⎛⎫diagλ-λE,λ-λE,...,λ