文档介绍：@第十讲常微分方程
一、考试要求
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法。会解伯努力方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。会用降阶法解下列形式的微分方程：y(n)=f(x),y //=f(x,y /)和y//=f(y,y /).
3、掌握(会解)二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
4、理解(了解)线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
6、掌握一阶常系数线性差分方程的解法。
7、会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。
8、会解欧拉方程。
9、会用微分方程解决一些简单的应用问题。
、内容提要
(一)、一阶微分方程
y f(x,y), yxxo y0,y(%) v。
i 可分离变量微分方程
y f (x,y) f (x)g(y)
或 f(x)dx g(y)dy 0
直接积分： f (x)dx g(y)dy C
2齐次方程
y f (x)， u x
3 一阶线性微分方程
y p(x)y q(x) 或 x p(y)x q(y) p(x) dx p (x)dx
y e [ q(x)e dx C]
4贝努里方程
y p(x)y q(x)yn , z y1n
5全微分方程
N M
M (x, y)dx N (x, y)dy 0
x y
x y
M(x,y0)dx N(x,y)dy C
xo y°
6可用简单变量代换求解的微分方程
(二)、可降阶的高阶微分方程
y(n) f(x),连续积分n次
y f(x,y), y u
c du
3 y f (y, y ), y u, y u dy
(三)、高阶线性微分方程
1、y p(x)y q(x)y f (x) ⑴
y p(x)y q(x)y 0 (2)
解的性质、结构
2、常系数线性齐次方程
y py qy 0
特征方程，特征根三种情况： 1, 2
(n) …(n 1)
y p〔y Pn 1y Pny 0
3、二阶常系数线性非齐次方程
y py qy f (x)
⑴ f (x) Pn(x)ex, 特解:
f (x) ex [a cos x bsin x], 特解:
特解：y*( x) y[(x) y2(x)
4、欧拉方程
2
x y axy by f (x)
令 x et ,t ln x xy
d2y dy dy
(r —) a — dt dt dt
5、微分方程组
dy 2
,x y dt
by f(et)
d2y dt2
dy
dt
dx dt dy dt
a〔1x a〔2 y
a21 x a22 y
(t)
,一般化为二阶常系数线性微分方程求解
(t)
三、典型题型与例题
题型一、一阶微分方程的求解
解题步骤：(1)判断方程的类型； (2)注意x p(y)x q(y)；
(3)若不能确定类型，考虑用适当的变量代换
例1、(98 1)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量y 一二 x ,且当
1 x
x 0时，是x的高阶无穷小量，y(0),则y(1)= .
例2、求dy 2xy的通解 dx
例 3、求（x ycos—）dx xcos— dy 0 的通解。 x x
例4、(99)设有微分方程y 2y
(x),其中(x)
2,右x 1、一左/ 、
(，)
0,右 x 1
内连续的函数y=y(x),使之在(
,1)和(1,)内都满足所给方程且y(0)=0.
例5、求微分方程xdy (x 2y)dx 0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直
线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.
例6、解微分方程y
1
2 ;
2x y
例 7、xdy x sin(x y) 0; dx
例8、求dy 4y x2yy的通解.
dx x 1
例 9、求解(x2 x
原方程的通解为——xy
3 4
注：全微分方程的解法: 若P(x, y)dx Q(x, y)dy 0是全微分方程,
y)dx (1 x)dy 0.
一 p q ..一
解1、上1 7,是全微分方程.
y x
A用曲线积分法:
(x, y) 2
u(x，y) (0,0) (x
y)dx (1
x)dy
(0,0)(0,y)
(0,y)(x,y)