文档介绍：设：是方程组AY =/?的解向量，若k1T]x + k2/]2 &久也是AX = b
的解向量,则,*1+^2 ks = 1 .
4 5 2 A 0 3 5 7 6
证明：由已知得,/? = A（幻〃]+ 如〃2 "s亿）=k]Af/i ksA/]s 4 分
—k^b + k^b + • • • + ksb — （ k、+ k2 +••• + *$）》 8 分
又故 *]+*2 + ,,, + *$ =1.
5 2 P 0 3 8 7 7
已知：X。是非零的〃维列向量，X°’Xo=l, _aA=E-X0X0\ 求证：A不可逆.
4 2 A 0 3 8 7 7
证明：由于故
AX° = （E — X°X。）X。= EX.- X°X° X。= X。— X°（X。X。）
=X。- X。= 0 . 5 分
所以，X。是AX = 0的一个非零解. 8分
贝0 舛=0,艮L A不可逆. 10分
4 5 2 P 0 3 9 7 8
已知：A3x3丰0, B3x3 ^0, B的每一个列向量都是AX = 0的解，
求证：同=0.
4 5 2 A 0 3 9 7 8
证明：由于 A3x3 0, B3x3 0 , R(A)〉0 , 2 分
故AX =0的解空间的维数小于3 , 4分
而B的三个列向量都是AX=0的解，
故8的三个列向量线性无相关，
从而|B| = 0 . 10分
设X为n维列向量，且XX =1,求证：A = E-2XXf为对称正交阵.
5 3 A 0 0 4 7 9
证明：A' = (E — 2XX')' = E'-(2XX')' = E — 2XX' = A ,
所以，A为对称阵, 4分
AA' = (E - 2XX')(E - 2XX') = E + 4XX欢-4XX', 8 分
由已知XX = 1,故4XXXX，= 4XX，,
因此，AAf = E,所以，A=E-2XX ' 0分
5 3 P 0 0 6 8 0
已知：A2+6A + 8E = 0,且= 求证：A + 3E正交.
5 3 A 0 0 6 8 0
证明：(A + 3E)(A + 3E)' = (A + 3E)(AZ + 3E') = (A + 3E)(A + 3E) 4 分
=A。+6A + 9E =妒 +6A + 8E + E = 0 + E 8 分
=E. 故A + 3E正交. 1 0分
5 3 P 0 0 7 8 1
若A半正定，则对任何正实数B = ^E + A是正定的.
5 3 A 0 0 7 8 1
,>0 , 2 分
、
= A\，
# +如 6分
证明：由已知，存在正交阵P使P'AP = k =
pz + ^i
P'BP = P'(juE + A)P = + A =
A】的特征值/z + tL, >0, //是正实数，
故A】正定，所以，B = PAlP,与A】有相同的特征值，
因此，3是正定阵. 10分
5 3 P 0 1 7 8 2
已知：A,* “的特征值为4,如…，蜂，求证:A'的特征值为•，蜂，且
|a| = “2…如
5 3 P 0 1 9 8 2
证明：洛E_A[="E_A)[ = |4E_A|