文档介绍：《高等数学》知识点总结（上册）
函数：
绝对值得性质:
（l）|a+b| |a|+|b|
函数的表示方法：
（1）表格法
函数的几种性质：
（1）函数的有界性
（3）函数的奇偶性反函数：
(2)|a-b| |a|-|b|
（2）图示法
（2）函数的单调性（4）函数的周期性
(3)|ab| = |a||b|(4)|
（3）公式法（解析法）
a | a |b \=\b\(b 0)
y/（x） yf, （x）定理：如果函数在区间［a,b］上是单调的，则它的反函数J'】存在，且是单
值、单调的。
基本初等函数：
（2）指数函数（4）三角函数
（1）幕函数（3）对数函数（5）反三角函数复合函数的应用极限与连续性：
数列的极限：
X
定义：设"是一个数列，a是一个定数。如果对于任意给定的正数（不管它多么
JQ X d X
小），总存在正整数N，使得对于n>N的一切4不等式"都成立，则称数a是数列〃
jq （2 ' X CL '
的极限，或称数列，，收敛于a，记做 ”，或”（〃）
收敛数列的有界性：
定理：如果数列’"收敛，则数列一定有界
推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛
函数的极限：
定义及几何定义
函数极限的性质：
limf（x） A X
（1）同号性定理：如果X ，而且A>0（或A<o）,则必存在。的某一邻域，当x
X
在该邻域内（点。可除外），有/⑴。（或/⑴0）。
,且在X。的某一邻域内（XX。），恒有•/（》）° （或•/（》）° ）,
lim/（x） A
（2）如果一'。
则 A 0 (A 0).
（3）如果％ %o 存在，则极限值是唯一的
（4）如果一。存在，则在•/（》）在点而的某一邻域内（XX。）是有界的。
无穷小与无穷大：
注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小
T （工）
的唯一的常数，因为如果f（x）O则对任给的0,总有，|即常诙零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。
无穷小与无穷大之间的关系：
1
/（x） /（X）
（1）如果函数」为无穷大，贝『为无穷小
/（x） /（x） 0
（2）如果函数'为无穷小,且' ，贝『为无穷大
具有极限的函数与无穷小的关系：
（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和
（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限
关于无穷小的几个性质：
定理：
（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小
/（X）
（2）有界函数'与无穷小a的乘积是无穷小
推论：
（1）常数与无穷小的乘积是无穷小
（2）有限个无穷小的乘积是无穷小
极限的四则运算法则：
f （x） g（x）
定理：两个函数 . 的代数和的极限等于它们的极限的代数和
f （x） g（x）
两个函数 . 乘积的极限等于它们的极限的乘积
极限存在准则与两个重要极限：
准则一（夹挤定理）
设函数f（x）、g（x）、h（x）在 ■ 0的某个邻域内（点,。可除外）满足条件：
(1)g(x) /W h(x)
lim g(x) A
lim h(x) A
(2) * %
xX ,0
lim/(x) A
则七
准则二单调有界数列必有极限
定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在
重要极限:
lim sin： 1 lim cosx J_
X 0 X (2)X。 x 2
lim(l 1)r e lim(l x) ~ e
* x 或 * o
无穷小阶的定丸
设、为同一过程的两个无穷小。
如果一
lim
o ，则称是比高阶的无穷小，记做。()
如果 —
lim
,则称是比低阶的无穷小
如果 —
lim
c(c 0, c 1),则称与是同阶无穷小
如果一
lim 〜
1 ,则称与是等阶无穷小，记做
几种等价无穷小：
对数函数中常用的等价无穷小：
10ga(l X)~ — X(X 0)
X 0 时，ln(l X)- x{x 0) Ina
三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：
cosx 〜—X2
x 0 日寸,sin x ~ 尤 tan x 〜尤 2 arcsin x 〜尤 arctan x- x
指数函数中常用的等价无穷小：
x 0 时，ex 1 - x ax 1 /I" 1 〜Ini
二项式中常用的等价无穷小：
x
1工1〜一
x 0 时，(1 x)a 1 - ax ~ n
函数在某一点处连续的条件：
lim/(x) /(x )
r