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有限元分析考试总结
赵启东
有限元法定义
有限元法〔FEM〕是随着计算机的广泛应用而产生的一种计算方法。它是近似求解一般连续体问题的数值方法。从物理方面看：它是用仅在单元结点上彼此相连的单元组合体来代替等分析的连续体，也即将待分析的连续体划分成假设干个彼此相联系的单元。通过单元的特性分析，来求解整个连续体的特性。从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。显然随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断得到改良。如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于数确解。
有限元法求解步骤
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的根本步骤是一样的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的根本步骤通常为：　　第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。　　第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域****惯上称为有限元网络划分。显然单元越小〔网格越细〕那么离散域的近似程度越好，计算结果也越准确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。　　第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵〔构造力学中称刚度阵或柔度阵〕。　　为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原那么要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规那么为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。　　第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程
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〔联合方程组〕，反映对近似求解域的离散域的要求