文档介绍：多媒体技术之变换编码
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预测编码希望通过对信源建模尽可能精确地预测数据。
变换编码的思路：将原始数据“变换”到一个更为紧凑的表示空间，从而得到比预测编码更高效率的数据表示（压缩）
基本函数族
组成：1，cos(nx)，sin(nx)
性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；
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傅立叶展开
傅立叶展开定理：
周期为2π的函数f(x) 可以展开为三角级数，
展开式系数为
狄利克雷收敛定理
收敛条件
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
在一个周期内至多只有有限个极值点。
收敛结果
当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值；
当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。
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展开举例
对称函数
对奇函数：
对偶函数：
函数
展开式
sgn(x)
(4/π) (sin x + sin3x/3 + sin5x/5 +)
x
2 (sin x sin2x/2 + sin3x/3 sin4x/4 + sin5x/5 +)
|x|
π/2 (4/π)(cos x + cos3x/32 + cos5x/52 + )
典型周期函数(周期为2π)
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傅立叶展开的意义：
理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；
应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。
例如：对称方波的傅立叶展开
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重要推广
推广1：
问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开：
方法：对基本公式作变换x→πt/L，
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推广2
问题：把定义在 [-L, L] 上的函数 f(t)展开；
方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期
为2L的函数的一部分)，
再按推广1展开；
注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。
延拓前
延拓后
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推广3
问题：把定义在 [0, L] 上的函数 f(x)展开；
方法：先把它延拓为[-L, L]上的奇函数或偶函数，
再按推广2把它延拓为周期函数，
最后按推广1展开；
注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(x)一致。
公式：
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傅立叶级数
展开的复数形式
展开公式：
基本函数族：
正交性：
展开系数：
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傅立叶变换
非周期函数的傅立叶展开
问题：
把定义在（－∞，∞）中的非周期函数 f (x)展开；
思路：
把该函数定义在（－L，L）中的部分展开，再令L→∞；
实施：
展开公式
展开系数：
困难
展开系数 cn 为无穷小；
幂指数 nx/L 不确定。
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傅立叶变换
解决方法：
把 nπ/L 作为新变量，即定义ωn = nπ/L ；
把 cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π.
公式的新形式：
展开公式：
展开系数：
取极限：
傅立叶变换：
傅立叶积分：
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从欧拉公式中得到:
()
其中:
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例题1
矩形函数的定义为
求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。
解：
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例题2
将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。
解：
先求出 f (t) 的傅立叶变换
代入傅立叶积分公式，得
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一维离散傅里叶变换及其反变换
单变量离散函数f(x)的傅里叶变换F(u)
定义为:
反变换为:
()
()
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二维变换和反变换为:
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二维DFT及其反变换
一个图像尺寸为M*N的函数f(x,y)的
离散傅里叶变换由下列等式给出:
反变换由下列等式给出:
傅里叶谱,相角和频率谱:
()
()
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离散傅立叶变换的计算举例
x
f(x0)=f(x0+x)
0
1
2
3
1
2
3
4
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F(0) = 1/4Σf(x)exp[0]
= 1/4[f(0) + f1(1) + f(2) + f(3)]
= 1/4(2 + 3 + 4 + 4)
=
F(1) = 1/4Σf(x)exp[-j2πx/4)]