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基本不等式a2 b2 2ab的变式及应用
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不等式a b 2ab是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它
各种变式的掌握与熟练运法二：由变式④得 a 1 b 1 .. 2(a 厂b「)
同理：.c 1 1 2(c_1一1)
a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) ■ 2(c 2) 2(a b c 4)
.12 5 故结论成立
评论：本解法应用“ a b V2(a2 b2) ”，这个变式的功能是将 “根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。
证法三：由变式⑩得
(•a 1 b 1 c 1)2 3(a 1 b 1 c 1) 15
故,a 1 b 1 . c 1 4 即得结论
评论：由基本不等式a2 b2 2ab易产生2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca，两边
2 2 2 2 2 2 2
同时加上a b c即得3(a b c ) (a b c)，于是便有了变式⑩，本变式的功
能可以将平方进行“分拆”与“合并” 。本解法是将平方进行分拆，即由整体平方转化为个
整平方，从而有效的去掉了根号。
例 2、设 a,b,c R，求证：芈7a <b Vc
<b Vc Va
证明：由变式⑤得 a 2 .a .b， b 2 b c， c 2；c -a
<b Vc <a
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三式相加即得：
vb <c
评论：本解法来至于“若b
2
a
0，则 2a
b
b ”,这个变式将基本不等式转化成更为
灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。
例3、实数a,b满足
(a 4)2 (b 3)2 2，
4 ，
解析：结合变式⑨得
(a 4)2
4
2
(b 3)
3
求a b的最大值与最小值
2
(a b 7)
因此 J4 a b
• 14
当且仅当3(a 4)
4(b
3)、再结合条件得
3、14
丁及

7
别获得最小值与最大值;
评论：由a2m2 b2n2
2
2mnab n(m n)a
m(m n)b2
mn(a
m,n R即得变式⑨，这可是
3 14
7时，分

7
b)2再结合
个很特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一
个特殊分式的关系，它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题，也为我们
处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径。
例4、已知x, y (
2,2)，且 xy 1，求 u
4 _
4 x2 9
9-^的最小值
y
解析：由变式⑥u
4
4 x2
9
9 y2
1
2~
1
9
4
2 2~
(1 F (1 行
4 9
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