文档介绍：锐角三角函数及其应用
榆林第六中学 高启鹏
一、锐角三角函数中考考点归纳
考点一、锐角三角函数
锐角三角函数的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，那么∠A为△ABC中的一锐角，那么有
对边
邻边
斜边
A
°≈+3×≈
故答案是：．
【点评】 此题考查了计算器的使用，．
例5、(2021•陕西)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，那么DE的长度为 2﹣ ．
【考点】 旋转的性质
【分析】 利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．
【解答】 解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，
∴∠DEA′=45°，
∴A′D=A′E，
∵在正方形ABCD中，AD=1，
∴AB=A′B=1，
∴BD=，
∴A′D=﹣1，
∴在Rt△DA′E中，
DE==2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】 此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．
〔三〕、锐角三角函数定义以解答题的形式出现
例6、〔12分〕〔2021•陕西〕如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
〔1〕如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，那么△BMC的面积为 24 ；
〔2〕如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
〔3〕如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？假设存在，求出此时cos∠BPC的值；假设不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．.
【专题】综合题．
【解析】〔1〕如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可；
〔2〕如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，那么BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；
〔3〕如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，那么PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．
【解答】解：〔1〕如图①，过A作AE⊥BC，
∴四边形AECD为矩形，
∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，
在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，
∴AB=2BE=8，AE==4，
那么S△BMC=BC•AE=24；
故答案为：24；
〔2〕如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，那么BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，
∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，
∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，
∴过点A作AE⊥BC，那么CE=AD=8，
∴BE=4，AE=BE•tan60°=4，
∴CC′=2CD=2AE=8，
∵BC=12，
∴BC′==4，
∴△BNC周长的最小值为4+12；
〔3〕如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，
作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，那么PB=PC，圆心O在PN上，
∵AD∥BC，
∴圆O与AD相切于点P，
∵PQ=DC=4＞6，
∴PQ＞BQ，
∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，
在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，
∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，
∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，
连接OB，那么∠BON=2∠BPN=∠BPC，
∵OB=OP=4﹣OQ，
在Rt△B