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初二数学实数思维导图
汇总　　实数的完备有序域实数集合通常被描述为完备的有序域，这可以几种说明。
首先，有序域可以是完备格。然而，很简单发觉没有有序域会是完备格。这是

初二数学实数思维导图
汇总　　实数的完备有序域实数集合通常被描述为完备的有序域，这可以几种说明。
首先，有序域可以是完备格。然而，很简单发觉没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素(对随意元素，将更大)。所以，这里的完备不是完备格的意思。
另外，有序域满意戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明白这里的完备是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思特别接近采纳戴德金分割来构造实数的方法，即从(有理数)有序域启程，通过标准的方法建立戴德金完备性。
这两个完备性的概念都忽视了域的构造。然而，有序群(域是种特别的群)可以定义相同空间，而相同空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。(这里采纳相同空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依靠于实数的性质。)当然，并不是唯一的相同完备的有序域，但它是唯一的相同完备的阿基米德域。事实上，完备的阿基米德域比完备的有序域更常见。可以证明，随意相同完备的阿基米德域势必是戴德金完备的(当然反之亦然)。这个完备性的意思特别接近采纳柯西序列来构造实数的方法，即从(有理数)阿基米德域启程，通过标准的方法建立相同完备性。
完备的阿基米德域最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即全部其他的阿基米德域都是的子域。这样是完备的是指，在其中参加任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思特别接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含全部(超实数)有序域的纯类启程，从其子域中找出最大的阿基米德域。

　　实数的根本定理实数系的根本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准那么，共7个定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于根底的地位。7个根本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就须要有更根本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立，引进方式主要是成认戴德金公理，然后证明这7个根本定理与之等价，以此