文档介绍：证明异面直线的几种方法
范文哲
异面直线在立体几何中占有重要地位，很多同学在证明两条直线是异面直线时往往只证不共面的一面，或只证无公共点的一面，这样的证明是不全面的，必须根据异面直线的定义，证明这两条直线无公共点，同时不在任
证明异面直线的几种方法
范文哲
异面直线在立体几何中占有重要地位，很多同学在证明两条直线是异面直线时往往只证不共面的一面，或只证无公共点的一面，这样的证明是不全面的，必须根据异面直线的定义，证明这两条直线无公共点，同时不在任何一个平面内，这样才算完整。在这里讲几种常用的方法，供同学们学****br/>一. “判定定理”法
判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
例 1. 如图 1，空间四边形 ABCD，，AE 是
的边 BC 上的中线，求证：AE 和 DF 是异面直线。

的边 BC 上的高，DF 是
图 1
证明：由题设条件可知点 E、F 不重合，设

所在的平面为。因为
，所以 AE 和 DF 是异面直线。
二. 反证法
例 2. 已知 a//b//c，且 a，b，c 不在同一平面内，A、B

，求
证：AD 与 BC 是异面直线。
证明：因为 a//b，所以 a，b 确定平面。又 A，B a，C b，所以 A、B、C 不
共线，且 A，B，C α。假设 AD 与 BC 共面，则

，而，c//a，，
从而，此与 a，b，c 不在同一平面内矛盾，故 AD 与 BC 是异面直线。
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三. 排除法
例 3. 如图 2，已知面直线。

，求证：a，b 是异
图 2
证明：（1）因为，所以 b 与

只有一个公共点。
而
故 a 与 b 无公共点。

，
（2）

上只有一个点在平面

内，其他点都在平面内，不在

内，
上的点都在平面

内，又

故 a，b 不在同一平
面内。
综合（1）（2）可知，a，b 是异面直线。
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