文档介绍：压杆的稳定性验算
建筑力学行动导向教学案例教案提纲
模块七压杆稳定性
为了说明问题,取如图7-2 (a)所示的等直细长杆,在其两端施加轴向压力F,使杆在
直线状态下处于平衡,此时,如果给杆以微小的侧向干扰力,使杆发生微小的弯曲,然后撤
去干扰力,则当杆承受的轴向压力数值不同时,其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数
值F小于某一数值持平衡,如图7-2 (a)、
(b)cr
F
轴向压力数值F
逐渐增大到某一数值F时,即使撤去cr
干扰力,杆仍然处于微弯形状,不能自动恢复到原有的
直线平衡状态,如图7-2 (c)、(d)所示,则原有的直
线平衡状态为
不稳定的平衡。如果力F继续增大,则杆继续弯曲,
产生显著的变形,甚至发生突然破坏。
上述现象表明,在轴向压力F由小逐渐增大的过程中,
压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡,这种现象称为
压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决
于轴向压力的数值,压杆由直线状态的稳定的平衡过渡
到不稳定的平衡时所对应的轴向压力,称为压杆的临界
压力或临界力,用表示
图7-2
压力F小于Fcr当压杆所受的轴向 Fcr时,杆件就能够保持稳定的平衡,这种性能称为压杆具有稳定性;而
当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时,杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
压杆经常被应用于各种工程实际中,例如脚手架立杆和基坑支护的支撑杆,均承受压力,
此时必须考虑其稳定性,以免引起压杆失稳破坏。
——欧拉公式
从上面的讨论可知,压杆在临界力作用下,其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不
稳定的平衡,此时,即使撤去侧向干扰力,压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然,如
果压力超过这个临界力,弯曲变形将明显增大。所以,使压杆在微弯状态下保持平衡的最小
的轴向压力,即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的
临界力计算公式。
一、两端铰支细长杆的临界力计
算公式——欧拉公式设两端铰支长度
为z的细长杆,在轴向压力Fcr的作
用下保持微弯平衡状态,如图7-3
在图7-3所示的坐标系中,坐标z处横截
面上的弯矩为:
将式(b代入式(a),得
进一步推导(过程从略),可得临界力为:
上式即为两端铰支细长杆的临界压力计算公式,称为欧拉公式。
从欧拉公式可以看出,细长压杆的临界力
Fcr与压杆的弯曲刚度成正比,而与杆长l的
平方成反比。
二、其他约束情况下细长压杆的临界力
杆端为其他约束的细长压杆,其临界力计算公式可参考前面的方法导出,也可以采用类比的方法得到。经验表明,具有相同挠曲线形状的压杆,其临界力计算公式也相同。于是,可将两端铰支约束压杆的挠曲线形状取为基本情况,而将其他杆端约束条件下压杆的挠曲线形状与之进行对比,从而得到相应杆端约束条件下压杆临界力的计算公式。为此,可将欧拉公式写成统一的形式:
表7-1 压杆长度系数
【-1】如图7-4所示,一端固定另一端自由的细长压杆,其杆长
l?2m,截面形状为矩形,b?20mm、h=45mm,材料的弹性模量E=200GPa。试计算该压杆的临界力。若把截面改为b?h=30mm,而保持长度不变,则该压杆的临界力又为多大?
解(1)计算截面的惯性矩
由前述可知,该压杆必在弯曲刚度最小的xy平面内失稳,故公式(4-53)
的惯性矩应以
最小惯性矩代入,即
(2)计算临界力查表4-12得u?2,因此临界力为:
(3)当截面改为b?h=30mm时压杆的惯性矩为:
代入欧拉公式,可得:
从以上两种情况分析,其横截面面积相等,支承条件也相同,但是,计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下,选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
一、临界应力和柔度
前面导出了计算压杆临界力的欧拉公式,当压杆在临界力Fcr作用下处于直线状态的
平衡时,其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A,称为临界应力,用?cr表示,即
上式为计算压杆临界应力的欧拉公式,式中?称为压杆的柔度(或称长细比)。柔度?是一个无量纲的量,其大小与压杆的长度系数u、杆长l及惯性半径
i有关。由于压杆的长度系数u决定于压杆的支承情况,惯性半径i决定于截面的形状与尺寸,所以,从物理意义上看,柔度?综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式(7-3)还可以看出,如果压杆的柔度值越大,则其临界应力越小,压杆就越容易失稳。