文档介绍：初中数学竞赛辅导资料
第一讲数的整除
一、内容提要:
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征
除数
能被整除的数的特征
2或5
末位数能被2或5整除
4或25
末两位数能被4或25整除
8或125
末三位数能被8或125整除
3或9
各位上的数字和被3或9整除(如771,54324)
11
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除
(如143,1859,1287,908270等)
7,11,13
从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001,22743,17567,21281等)
能被7整除的数的特征:
①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如 1001 100-2=98(能被7整除)
又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除)
能被11整除的数的特征:
①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除
如 1001 100-1=99(能11整除)
又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除)
第二讲倍数约数
一、内容提要
1、两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。
2、因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。如0是7的倍数,7是0的约数。
3、整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。
4、整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1,±2,±3,±6。
5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7、在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数。若用字母表示可记作:A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除。
例如23=3×7+2,则23-2能被3整除。
第三讲质数合数
一、内容提要
1、正整数的一种分类:
质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
根椐质数定义可知
质数只有1和本身两个正约数。
质数中只有一个偶数2。
如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2;
如果两个质数的积是偶数,那么其中也必有一个是2。
3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。
第四讲零的特性
一、内容提要
(一)零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数,是整数,是偶数。
1、零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支平衡可记作结存0元。
2、零是判定正、负数的界限。
若a >0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则 a>0
记作 a>0 a是正数读作a>0等价于a是正数
b<0 b 是负数
c≥0 c是非负数(即c不是负数,而是正数或0)
d0 d是非正数(即d不是正数,而是负数或0)
e0 e不是0(即e不是0,而是负数或正数)
3、在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0。
记作:|a|≥0,当a=0时,|a|的值最小,是0,
a2≥0,a2有最小值0(当a=0时)。
4、在一切非正数中有一个最大值是0。
例如-||≤0,当=0时,-||值最大,是0(∵≠0时都是负数)。
0,当=2时,的值最大,是0。
(二)零具有独特的运算性质
1、乘方:零的正整数次幂都是零。
2、除法:零除以任何不等于零的数都得零;
零不能作除数。从而推出,0没有倒数,分数的分母不能是0。
3、乘法:零乘以任何数都得零。即a×0=0,
反过来,如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4、加法:互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。
即a、b互为相反数a+b=0
5、减法:两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定,
若a-b=0,则a=b;若a-b>0,则a>b;若a-b