考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤.docx

文档介绍：考研数学基础班概率统计讲义
第一章 随机事件与概率
一、随机试验与随机事件
(一)基本概念
1、随机试验—具备如下三个条件的试验:
(1)相同条件下可重复。(2)试验的可能结果是多样的且是确定的。
(3)某次试验之前不确定具体发生的结果,这样的试验称为随机试验,记为 E 。
2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合,称为随机试验的样本空间。
3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。
(二)事件的运算
1、事件的积—事件 A 与事件 B 同时发生的事件,称为事件 A, B 的积,记为 AB 。
2、事件的和—事件 A 或者事件 B 发生,称为事件 A, B 的和事件,记为 A + B 。
3、事件的差—事件 A 发生而事件 B 不发生,称事件 A, B 的差事件,记为 A - B 。
(三)事件的关系
1、包含—若事件 A 发生则事件 B 一定发生,称 A 包含于 B ,记为 A Ì B 。若 A Ì B 且 B Ì A ,称两事件相等,记 A = B 。
2、互斥(不相容)事件—若 A 与 B 不能同时发生,即 AB = f ,称事件 A, B 不相容或互斥。
3、对立事件—若 AB = f 且 A + B = Ù 称事件 A, B 为对立事件。
【注解】(1) A = ( A - B) + AB ,且 A - B 与 AB 互斥。
(2) A + B = ( A - B) + (B - A) + AB ,且 A - B, B - A, AB 两两互斥。
(四)事件运算的性质
1、(1) AB Ì A(或B) Ì A + B ; (2) AB = BA, A + B = B + A ;
2、(1) A È A = A, A Ç A = A ;
(2) A Ç (B È C) = ( A Ç B) È ( A Ç C), A È (B Ç C) = ( A È B) Ç ( A È C) ;
3、(1) A = ( A - B) È A ; (2) ( A - B) Ç A = A - B ;
(3) A + B = ( A - B) È AB È (B - A) 。
4、(1) A + A = Ù ; (2) A Ç A = f 。
二、概率的定义与性质
(一)概率的定义—设随机试验的样本空间为Ù ,满足如下条件的随机事件的函数 P(·) 称为所对应事件的概率:
1、对事件 A ,有 P( A) ³ 0 (非负性)。
2、 P(Ù) = 1(归一性)。
¥ ¥
3、设 A1 , A2 ,L, An ,L 为不相容的随机事件,则有 P( U An ) = å P( An ) (可列可加性)。
(二)概率的基本性质
1、 P(f) = 0 。
n=1
n=1
n n
2、设 A1 , A2 ,L, An 为互不相容的有限个随机事件列,则 P( U Ak ) = å P( Ak ) 。
k =1
k =1
3、 P( A) = 1- P( A) 。
4、(减法公式) P( A - B) = P( A) - P( AB) 。
(三)概率基本公式
1、加法公式
(1) P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB) 。
(2) P( A + B + C) = P( A) + P(B) + P(C) - P( AB) - P( AC) - P(BC) + P( ABC) 。
2、条件概率公式:设 A, B 是两个事件,且 P( A) > 0 ,则 P(B | A) = P( AB) 。
P( A)
3、乘法公式
(1)设 P( A) > 0 ,则 P( AB) = P( A)P(B | A) 。
(2) P( A1 A2 L An ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )L P( An | A1 A2 L An-1 ) 。
三、事件的独立性
1、两个事件的独立—设 A, B 是两个事件,若 P( AB) = P( A)P(B) ,称事件 A, B 相互独立。
⎪
⎧P( AB) = P( A)P(B);
⎨
2、三个事件的独立—设 A, B, C 是三个事件,若⎪P( AC) = P( A)P(C);
⎪P(BC) = P(B)P(C);
⎪⎩P( ABC) = P( A)P(B)P(C),

,称事件 A, B, C 相互独立。
【注解】
(1) A, B 相互独立的充分必要条件是 A, B
、 A, B 、 A, B 任何一对相互独立。
(2)设 P( A) = 0 或 P( A) = 1 ,则 A 与任何事件 B 独立。
(