《线性代数》-代数难题讲解.doc

文档介绍：线性代数疑难习题讲解
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1.
题目证明向量线性无关的充要条件是线性无关。
知识点:线性无关,向量的初等变换。
解题步骤:
方法一。必要性:
设
即
∵线性无关
∴有方程组
∵其系数矩阵的行列式:
∴
只有零解
即
∴线性无关
充分性:
设
即
线性无关
∴
其系数矩阵的行列式:
∴方程只有零解
即
∴线性无关.
方法二:
∵
∴
故线性无关的充要条件是线性无关
方法总结:方法一是从定义出发进行证明,必要性比较容易想到,但充分性比较难。
方法二是利用初等变换求新变量的秩一只证明了必要性,充分性不容易证明.
相关例题:(P67)
2.
题目设为n阶实矩阵,证明:若,则。
知识点:矩阵相乘、转置矩阵、零矩阵概念
解题步骤:
证明:设
,则
∴其中*为省略表示的代数和
∴
∵为实数
∴
即=0
∴
常见错误及原因:混淆了零矩阵与行列式为零的概念,由
得出。
3.
设为n阶矩阵,若,试证的特征值是-1或1.
知识点:特征值与特征向量
解题步骤:
方法一。
设的特征值为,对应的特征向量为,则有:
两边左乘矩阵得:
或
把和代入上式得:
因为为非零向量,所以
方法二。
∵
∴或
∴
∴
∴或
∴的特征值为或
方法三。
设的特征值为,并设有多项式
则方阵的特征值为
由
得
∴
即
∴
相关例题:(P89)
4.
题目设A, X, B分别是m×n,n×1,m×1矩阵,B≠0; 是方程AX=B的一个解;对应的齐次方程AX=0的一个基础解系为,,…,,r = rank(A). 证明, , ,……,线性无关。
知识点:基础解系,线性无关
解题步骤:
方法一。
证明:, ,……,是齐次方程AX=0的一个基础解系。
, ,……,线性无关。
Rank (, ,……) = n-r
是方程AX=B的一个解,B≠0
不能由, ,……,线性表示
Rank (,, ,……,) = n-r+1
, , ,……, 线性无关.
方法二。(从定义出发)
设存在k, k, k, k…, k,使
k+