文档介绍：数学开放性问题怎么解
数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.
例 1 设等比数列的公比为,前项和为,是否存在常数,使数列也成等比数列?若存在,求出常数;若不存在,请明理由.
讲解存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.
设存在常数, 使数列成等比数列.

(i) 当时, 代入上式得
即=0
但, 于是不存在常数,使成等比数列.
(ii) 当时,, 代入上式得
.
综上可知, 存在常数,使成等比数列.
等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的情形, 可不要忽视啊!
例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值);
(3 ) 使用若干年后,对机床的处理方案有两种:
(i )当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;
(ii )当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由.
讲解本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.
(1)
=.
(2)解不等式>0,
得<x<.
∵ x∈N, ∴ 3 ≤x≤ 17.
故从第3年工厂开始盈利.
(3)(i) ∵≤40
当且仅当时,即x=7时,等号成立.
∴到2008年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii) y=-2x2+40x-98= -2(x-10)2 +102,
当x=10时,ymax=102.
故到2011年,盈利额达到最大值,工厂共获利102+12=114万元.
解答函数型最优化实际应用题,二、三元均值不等式是常用的工具.
例3 已知函数f(x)= (x<-2)
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)设a1=1,=-f-1(an)(n∈N),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn<成立?若存在,求出m的值;若不存在说明理由.
讲解本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.
(1) y=,
∵x<-2,∴x= -,
即y=f-1(x)= - (x>0).
(2) ∵, ∴=4.
∴{}是公差为4的等差数列.
∵a1=1, ∴=+4(n-1)=4n-3.
∵an>0 , ∴an=.
(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn<,得 m>对于n∈N成立.
∵≤5 ,
∴m>5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有bn<成立.
为了求an ,我们先求,这是因为{}是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.
例4 已知数列在直线x-y+1=0上.
求数列{an}的通项公式;
(2)若函数
求函数f(n)的最小值;
(3)设表示数列{bn}:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
讲解从规律中发现,从发现中探索.
(1)

(2) ,
,
.

(3),

.

故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.
事实上, 数列{an}是等差数列, 你知道吗?
例5 深夜,一辆出租车被牵涉进一起交通事故,该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色,并对证人的辨别能力作了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗?试说明理由.
讲解设该城市有出租车1000辆,那么依题意可得如下信息:
证人所说的颜色(正确率80%)
真
实
颜
色
蓝色
红色
合计