文档介绍：2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
二次函数与方程(组)或不等式
◆知识讲解
(1)最大值或最小值的求法
第一步确定a的符号:a>0有最小值,a<0有最大值;第二步求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
(2)y轴与抛物线y=ax2+bx+c的交点为(0,c).
(3)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).
(4)抛物线与x轴的交点.
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点△>0抛物线与x轴相交.
②有一个交点(顶点在x轴上)△=0抛物线与x轴相切;
③没有交点△<0抛物线与x轴相离.
(5)平行于x轴的直线与抛物线的交点.
同(4)一样可能有0个交点,1个交点,,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.
(6)一次函数y=kx+n(k≠0)的图像L与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像G的交点,由方程组的解的数目确定:①当方程组有两组不同的解时L与G有两个交点;②方程组只有一组解时L与G只有一个交点;③方程组无解时L与G没有交点.
(7)利用函数图像求不等式的解集,先观察图像,找出抛物线与x轴的交点,:观察图像时不要看漏了其中的部分.
◆例题解析
例1 如图所示,已知抛物线y=-x2+(5-)x+m-3与x轴有两个交点A,B,点A在x轴的正半轴上,点B在x轴的负半轴上,且OA=OB.(1)求m的值;(2)求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标;(3)问在抛物线上是否存在一点M,△MAC≌△OAC,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】抛物线与x轴交于A,B两点,OA=OB,故A,B两点关于y轴对称,就可求得m的值,由抛物线交y轴的正半轴,得m的确定值.
【解答】(1)∵抛物线与y轴交于正半轴,且OA=OB.
∴
由②得m=±5,由①m>3,故m=-5应舍去.∴m=5.
(2)抛物线的解析式为y=-x2+2,对称轴是y轴,顶点C的坐标为C(0,2).
(3)令y=0得-x2+2=0,∴x=±2.
∴A(2,0),B(-2,0),C(0,2),△OAC是等腰直角三角形.
若存在一点M,使△MAC≌△OAC,∵AC为公共边,OA=OC,
∴点M与O关于直线AC对称,∴M点的坐标为(2,2).
当x=2时,-x2+2=0≠2.
∴M(2,2)不在抛物线上,即不存在一点M,使△MAC≌△OAC.
【点评】存在性问题,通常是先假定存在,若能找出具备某种条件或性质的对象,就说明存在,其叙述过程就是理由;若不存在,就需要进一步说明理由.
例2 已知二次函数y=x2-(2m+4)x+m2-4(x为自变量)的图像与y轴的交点在原点下方,与x轴交于A,B两点,点A在点B的左边,且A,B两点到原点的距离AO,OB满足3(OB-AO)=2AO·OB,直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P,且锐角∠POB的正切值4.
(1)求m的取值范围;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)确定直线y=kx+k的解析式.
【分析】利用抛物线与x轴的交点A,B的位置及与y轴交点的位置和A,B两点到原点的距离可以求出m的值,再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解.
【解答】(1)设点A,B的坐标分别为A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),依题意,方程x2-(2m+4)x+m2-4=0有两个不相等的实数根.
∴△=[-(2m+4)] 2-4(m2-4)>0.
解得m>-2. ①
又∵函数的图像与y轴的交点在原点下方,
∴m2-4<0,∴-2<m<2. ②
(2)∵图像交y轴于负半轴,与x轴交于A,B两点,且x1<x2,
∴x1<0,x2>0.
由3(OB-AO)=2AO·OB可得
3[x2-(-x1)]=2(-x1)·x2
即3(x1+x2)=-2x1x2
由于x1,x2是方程x2-(2m+4)x+m2-4=0的两个根,所以x1+x2=2m+4,x1·x2=m2-4.
∴3(2m+4)=-2(m2-4)
整理,得m2+3m+2=0.
∴m=-1或m=-2(舍去).
∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
(3)由y=x2-2x-3,得A(-1,0),B(3,0)