文档介绍：构造法在高等数学解题中的应用
摘要: 高等数学中存在着大量等式与不等式的证明,.
关键词:构造法;多项式;二次型;辅助函数;等式;不等式
Structure method solve problem in the higher mathematics
XIE Chu-ming
mathematics and information institute,Chinawest normal university ,Nanchong 637002,China.
Abstract:In the higher mathematics has the massive equalities and the inequality proof, with the aid of the methods of the structure assistance function and two times and so es the problem solving is suitably one effective structure method in certain equalities and the inequality.
Key word: Structure law; Multinomial; Two times; Auxiliary function; Equality; Inequality
解数学题时,依据问题的条件和结论的特点,通过逆向分析,综合应用数学基本概念和原理,经过深入的思考,缜密的观察和广泛的联想,制做出一个特殊的‘构造’从而把陌生的问题转化成熟悉的问题,达到解题的目的,这种解决问题的方法叫构造法.
构造多项式法
例1 设多项式,证明:(c是任意常数).
证明由已知得.
再用数学归纳法有,
构造多项式,
则对一切自然数n , ,
即多项式有无数多个不同的根,,就得证毕.
例2 解关于的方程组
解此题若用线性方程组的求解比较麻烦,我们观察方程组中的每一个方程可以看出是多项式的根,这里我们构造了一个多项式
.
因为多项式是三次多项式,所以是的全部根,由多项式根与系数的关系得:
,
即原方程组的解为:
从以上两例可知,构造多项式法解题的过程是有已知条件或待证(求)结论进行联想,看问题与哪个多项式有关,设法构造这个多项式,然后根据多项式的性质证(求)得结论.
构造二次型法
例3 设(i=1,2,,m;j=1,2,,n)是mn个实数,证明:
证明构造二次型
=.
显然是半正定的,而 ≥0,证毕.
证明不等式的方法很多,其中借助二次型的性质证明不等式也是一种重要的思想途
径从上例可以看出构造二次型的过程是分析待证的不等式与哪个二次型有关,在这个基础上准确构造出这个二次型,并根据二次型的正定(负定)性质证明不等式.
3 构造函数法
例4 设f(x)在[a,b] 上是连续的,在(a,b)内可导,则在(a,b)内存在一点,使得2=(-).
分析将结论中的换成x,即证方程2x=(-)在(a,b)至少有一个根,