文档介绍：非线性有限元第4章 Lagrangian网格
计算固体力学
第4章 Lagrangian网格
引言
UL控制方程,弱形式
UL有限元离散
编制程序
旋转公式
TL格式,弱形式,有限元半离散化
1 引言
在Lagrangian网格中,节点和单元随着材料移动,边界和接触面与单元边缘保持一致,处理较为简单。积分点也随着材料移动,本构方程总是在相同材料点处赋值,这对于历史相关材料是有利的。基于这些原因,在固体力学中广泛地应用Lagrangian网格。
UL格式,Eulerian(空间)坐标和Cauchy应力;
TL格式,名义应力,PK2应力,Green应变张量。
2 UL控制方程弱形式
考虑一个物体,占有域Ω,边界为Г。
连续体力学行为的控制方程是:
1 质量(或物质)守恒,标量方程;
2 线动量和角动量守恒,张量方程,包含n个偏微分方程(n-维数);
3 能量守恒,通常称作热力学第一定律,标量方程;
4 本构方程,应力-应变或应变率的关系,对称张量;
5 应变-位移方程。
2 UL控制方程弱形式
边界条件:在二维问题中,面力或速度的每个分量都必须预先指定在整个边界上;但是,面力和速度的同一个分量不能指定在边界上同一点处。其分量可以指定在不同于总体坐标系的局部坐标系上。
速度边界条件等价于位移边界条件:如果给定了位移,可以通过时间微分得到速度;给定了速度,可以通过时间积分得到位移。
2 UL控制方程弱形式
初始条件:可以是速度和应力,或者是位移和速度。第一组初始条件更适合于大多数工程问题,因为确定一个物体的初始位移通常是很困难的。初始应力通常为已知的残余应力,有时候可以测量或者通过平衡解答估算。例如,当一个钢件经过铸锭成型后确定其位移几乎是不可能的。对于在工程部件中的残余应力场,经常能够给出较准确的估计。类似地,在埋置管道中,靠近管道周围的土壤或岩石的初始位移的概念是毫无意义的,而初始应力场可以通过平衡分析估计出来。因此,以应力形式的初始条件更加实用。
虚功率原理是动量方程,面力边界条件和内部力连续性条件的弱形式。微分方程的积分形式一般称为弱形式。
强形式或广义动量平衡,包括动量方程,力边界条件和力连续性条件。微分方程一般称为强形式。
2 UL控制方程弱形式
3 UL有限元离散
有限元近似
在有限元方法中,运动
近似地表示为
当前构形中的节点坐标
小写的下标表示分量,如三维
大写的下标表示节点值
默认对重复的指标求和;在小写指标的情况下,对空间的维数进行求和,而在大写指标的情况下,对节点的编号进行求和。
在求和中的节点数目取决于所考虑的域:当考虑整个域时,对整个域中的所有节点求和;当考虑一个单元时,对这个单元的所有节点求和。
3 UL有限元离散
有限元近似
当一个节点具有初始位置
有
节点J总是对应于相同的材料点XJ ,在L网格中,节点总是和材料点保持一致
定义节点位移:
位移场:
取位移的材料时间导数得到速度:
速度是位移的材料时间导数,即当材料坐标固定,对时间求偏导数。由于形状函数不随时间改变,因此速度是由相同形状函数给出的。节点位移上面的点表示普通导数,因为它仅是时间的函数。
3 UL有限元离散
有限元近似
加速度是速度的材料时间导数
速度梯度为
变形率给出为
变分函数或变量不是时间的函数,因此将变分函数近似为
虚拟节点速度