文档介绍：第2章插值法
内容提要
引言
拉格朗日插值
均差与牛顿插值公式
埃尔米特插值
分段低次插值
三次样条插值
引言
许多实际问题都用函数 y=f(x) 来表示某种内在规律的数量关系。若已知 f(x) 在某个区间[a,b] 上存在、连续,但只能给出[a,b] 上一系列点的函数值表时,或者函数有解析表达式,但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表(如三角函数表、对数表等)时,为了研究函数的变化规律,往往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数 f(x) 的特性,又便于计算的简单函数 P(x),用 P(x) 近似 f(x)。这就引出了插值问题。
1、提出问题(插值法的定义)
2、几何意义、外插、内插
P(x)  f(x)
x*
(外插)
x0
x1
x
(内插)
x2
x3
P(x*)  f(x*)
3、插值的种类
选取不同的函数族构造 P(x) 得到不同类型的插值
若 P(x) 是次数不超过 n 的代数多项式,就称为多项式插值;
若 P(x) 为分段的多项式,就称为分段插值;
若 P(x) 为三角多项式,就称为三角插值。
本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式,分段插值函数;讨论插值多项式 P(x) 的存在唯一性、收敛性及估计误差等。
4、多项式插值问题
插值多项式的存在唯一性
定理1 (存在唯一性) 满足插值条件的不超过 n 次的插值多项式是存在唯一的。
拉格朗日插值
一、线性插值与抛物插值
1、线性插值
y=f(x)
L1(x)
y
x
xk+1
xk
0
2、抛物插值
求解基函数
二、拉格朗日插值多项式
上面针对 n=1 和 n=2 的情况,得到了一次和二次插值多项式,这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造 n+1 个节点的 n 次插值多项式。