文档介绍：数值分析电子课件
工科研究生公共课程数学系列
辽宁科技大学理学院
任课教师:熊焱
Email:szfxkj11@
密码:szfxkj
第1章绪论
内容提要:
数值分析研究对象与特点
数值计算的误差
误差定性分析与避免误差危害
数值分析研究对象与特点
一、数值分析研究对象
二、数值分析的特点
三、数值分析的学习方法
一、数值分析研究对象
计算机解决科学计算问题时经历的过程
实际问题
模型设计
算法设计
问题的解
上机计算
程序设计
求
方程求根
牛顿法
程序设计
解
上机计算
实例
数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性,著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数,简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法,因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法,必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。
二、数值分析的特点
面向计算机,要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要求,对近似算法要保证收敛性和数值稳定性,还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上,因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。
要有好的计算复杂性,时间复杂性好是指节省时间,空间复杂性好是指节省存储量,这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。
要有数值实验,即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外,还要通过数值实验证明是行之有效的。
三、数值分析的学习方法
初学可能仍会觉得公式多,理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。
认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务,主动适应公式多和讲究理论分析的特点。
注重各章节所研究算法的提出,掌握方法的基本原理和思想,要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。
理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索,而且对一些最基本的算法要非常熟悉。
要通过例子,学习使用各种数值方法解决实际计算问题。
为掌握本课的内容,还应做一些理论分析和计算练习。
数值计算的误差
一、误差的来源
在运用数学方法解决实际问题的过程中,每一步都可能带来误差。
1、模型误差在建立数学模型时,往往要忽视很多次要因素,把模型“简单化”,“理想化”,这时模型就与真实背景有了差距,即带入了误差。
2、测量误差数学模型中的已知参数,多数是通过测量得到。而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。
3、截断误差数学模型常难于直接求解,往往要近似替代,简化为易于求解的问题,这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。
4、舍入误差计算机只能处理有限数位的小数运算,初始参
数或中间结果都必须进行四舍五入运算,这必然产生舍入误差。
误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者,当发现计算结果与实际不符时,应当能诊断出误差的来源,并采取相应的措施加以改进,直至建议对模型进行修改。
二、绝对误差、相对误差与有效数字
1、绝对误差与绝对误差限
误差是有量纲的量,量纲同 x,它可正可负。误差一般无
法准确计算,只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的一
个上限,这个上界称为近似值 x* 的误差限,记为ε*。