文档介绍：§ 连续系统模型的离散化处理(续3)
设有一个连续系统如图所示,在输入信号u(t)的后面加一个采样开关,经采样后得到离散的信号u*(t),然后再加上一个保持器,其传递函数为Gh(s),功能是把离散信号u*(t)转化为连续信号,并把连续信号加到连续系统上,其输出为。
对上述离散系统,可以直接利用z变换的方法求出其脉冲函数。
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§ 连续系统模型的离散化处理(续4)
差分方程模型
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§ 连续系统模型的离散化处理(续5)
设系统的状态方程和输出方程为:
对()两边取拉氏变换得:SX(s)-X(0)=AX(s)+Bu(s)
即有:(SI-A)X(S)=X(0)+Bu(S)
从而有: X(s)=(SI-A)-1[X(0)+Bu(s)]
再进行拉氏逆变换得:
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§ 连续系统模型的离散化处理(续6)
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§ 连续系统模型的离散化处理(续7)
对于式()所示的状态方程,在已知采样周期T的情况下,利用MATLAB函数,可以方便地求得系统离散化后的系统矩阵F和G,即:[F,G]=czd(A,B,T)
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第三章连续系统的数字仿真
用数字计算机来仿真或模拟一个连续控制系统的目的,就是求解系统的数学模型。由控制理论知,一个n阶连续系统可以被描述成由n个积分器组成的模拟结构图。连续系统数字仿真中的最基本的算法是数值积分算法。
§
§ 微分方程数值积分的矩阵分析方法
§ 数值积分法稳定性分析
§ 数值积分法的选择与计算步长的确定
§ 采样控制系统的仿真方法
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§
连续系统通常把数学模型化为状态空间表达式,它们都
可以化为如下标准形式:
对系统进行时域仿真分析,就是要对式()在具有初值
x(t0)=x0 ()
时,进行求解,即利用所谓的数值积分法,逐个地求出区间[a,b]内若干个离散点a≤t0<t1<t2<…<tn≤b处的近似值x(t1),x(t2),…,x(tn)。
一、欧拉法
对式()中的微分方程两边进行积分,可得:
()
()
即有:
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§(续1)
通常假设离散点t0,t1,…,tn是等距离的,即tk+1-tk=h,称h为计算步长或步距。
矩形公式积分的近似公式
x(tk+1)≈x(tk)+f(tk,x(tk))h
或简化为 xk+1≈xk+f(tk,xk)h ()
这就是欧拉公式
以x(t0)=x0作为初始值,应用欧拉公式,就可以一步步地求出每一时刻tk的xk的值,即
k=0,x1≈x0+f(t0,x0)h
k=1,x2≈x1+f(t1,x1)h
┆
k=n-1,xn≈xn-1+f(tn-1,xn-1)h
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§(续2)
欧拉数值积分方程的几何意义:从图上A0点求A1点的方法是以x(t0)的导数x‘(t0)=f(x0,t0)为方向作出直线A0A1,该直线在时刻t1=t0+h时,处于A1点,对应于x轴的坐标点x1,增量的数值为hf(t0,x0)。实际上是以直线A0A1代替真实的x(t0)~x(t1)的弧线段。然后以A1点再求斜率f(t1,x1)的切线A1A2在时刻t2=t1+h时的位置A2得x2,依次类推得到以折线A1,A2,…,An表示的近似函数,因此欧拉法又称折线法。( 图)
二、梯形法( 图)
为了提高精度现可用梯形面积tkactk+1来代替积分,即
于是可得到梯形法的计算公式为:
xk+1≈xk+h/2[f(tk,xk)+f(tk+1,xk+1)]
()
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§(续3)
由于上式右边包含有未知量xk+1,所以在利用()式进行递推计算时,可用二种方式来实现。
1. 首先通过对式()解代数方程,解出xk+1的表达式,使公式的右边不会xk+1,即可递推计算了。
2. 由于式()右边包含未知量xk+1,所以每一步可通过迭代来求解,每一步迭代的初值通常采用欧拉公式来计算,因此梯形法的每一步迭代公式为:
()
式中,迭代次数R=0,1,2,…
三、预估——校正法
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