文档介绍：回归分析
应用最广泛的一种办法。但回归分析要求大样本,只有通过大量的数据才能得到量化的
规律,这对很多无法得到或一时缺乏数据的实际问题的解决带来困难。回归分析还要求几
样本有较好的分布规律,而很多实际情形并非如此。例如,我国建国以来经济方面有次大起大落,难以满足样本有较规律的分布要求。因此,有了大量的数据也不一定能得到统计规律,甚至即使得到了统计规律,也并非任何情况都可以分析。另外,回归分析不能分析因素间动态的关联程度,即使是静态,其精度也不高,且常常出现反常现象前面我们讲过曲线拟合问题。曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间的一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常,函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定,要作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看,问题似乎已经完全解决了,还有进一步研究的必要吗?
从数理统计的观点看,这里涉及的都是随机变量,我们根据一个样本计算出的那些
系数,只是它们的一个(点)估计,应该对它们作区间估计或假设检验,如果置信区间
太大,甚至包含了零点,那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析
方法对模型的误差进行分析,对拟合的优劣给出评价。简单地说,回归分析就是对拟合
问题作的统计分析。
数据的标准化处理数据的中心化处理是指平移变换
数据的无量纲化处理在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不一样的。为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理,即使每个变量的方差均变成 1
标准化处理所谓对数据的标准化处理,是指对数据同时进行中心化-压缩处理
一元线性回归假设对于的n个值,得到的n个相应的值,确定的方法是根据最小二乘准则,要使
取最小值。利用极值必要条件令,求的估计值,从而得到回归直线。只不过这个过程可以由软件通过直线拟合完成,而无须进行繁杂的运算。
(1)参数的区间估计
由于我们所计算出的仍然是随机变量,因此要对取值的区间进行估计,如果区间估计值是一个较短的区间表示模型精度较高。
(2)对误差方差的估计
设为回归函数的值,为测量值,残差平方和
剩余方差
(3)线性相关性的检验
由于我们采用的是一元线性回归,因此,如果模型可用的话,应该具有较好的线性关系。反映模型是否具有良好线性关系可通过相关系数R的值及F值观察(后面的例子说明)。
一个好的拟合方程,其残差总和应越小越好。残差越小,拟合值与观测值越接近,
各观测点在拟合直线周围聚集的紧密程度越高,也就是说,拟合方程的能力越强。
另外,当e S 越小时,还说明残差值i e 的变异程度越小。由于残差的样本均值为零,
所以,其离散范围越小,拟合的模型就越为精确。
例1 测得16名成年女子身高与腿长所得数据如下:
表8-1 16名女子身高(cm)腿长(cm)数据
88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102
143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164
首先利用命令plot(x,y,'r*')画出散点图,从图形可以看出,这些点大致分布在一条直线的左右,因此,可以考虑一元线性回归。可编制程序如下:
%输入y(因变量,列向量)、x(1与自变量组成的矩阵,见下例),alpha是显著性水平()。输出,注意:b中元素顺序(系数)与拟合命令polyfit的输出不同,bint是的置信区间,r是残差(列向量),rint是残差的置信区间,s包含4个统计量:决定系数(相关系数为R);F值;F(1,n-2)分布大于F值的概率p;剩余方差的值()。也可由程序sum(r.^2)/(n-2)计算。
其意义和用法如下:的值越接近1,变量的线性相关性越强,说明模型有效;如果满足,则认为变量与显著地有线性关系,其中的值可查F分布表,或直接用MATLAB命令finv(1-,1, n-2)计算得到;如果表示线性模型可用。这三个值可以相互印证。的值主要用来比较模型是否有改进,其值越小说明模型精度越高。
y=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164];
x=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102];
plot(x,y,'r*')
n=16;
X=[ones(n,1),x'];
[b,bint,r,rint,s]=regr