文档介绍：
随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的方法,
来描述它的统计特性。
设ξ(t)表示一个随机过程,在任意给定的时刻t1∈T, 其取值
ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
我们把随机变量ξ(t1) 小于或等于某一数值 x1 的概率 P
[ξ(t1)≤ x1],简记为F1(x1, t1):
即 F1(x1,t1)=P[ξ(t1)≤ x1] ( - 1)
式( - 1)称为随机过程ξ(t)的一维分布函数。
如果F (x , t )对x 的偏导数存在,即有¶ txF 111 ),(
1 1 1 1 = txf 111 ),(
¶x1
则称f1(x1, t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。
显然,随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅
描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性,而没有说明随机
过程在不同时刻取值之间的内在联系,为此需要进一步引入二
维分布函数。
任给两个时刻t1, t2∈T,则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个
二元随机变量{ξ(t1), ξ(t2)},
称 F2(x1,x2; t1,t2)=P{ξ(t1)≤ x1, ξ(t2)≤ x2} ( - 3)
为随机过程ξ(t)的二维分布函数。
¶2 F( x , x ; t t )
如果存在 2 1 2 1, 2
= f( x1 , x 2 ; t 1 , t 2 )
¶x1 ׶ x 2
则称f2(x1,x2; t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。
同理,任给t1, t2, …, tn∈T, 则ξ(t)的n维分布函数被定义为
Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)=P{ξ(t1)≤ x1,ξ(t2)≤ x2,…, ξ(tn)≤ xn}
如果存在: 2
¶ 2,121 tttxxF nn )...,...;,(
= 2121 tttxxxf nn )...,,;...,,(
21 ...¶¶×¶ xxx n
则称fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)为ξ(t)的n维概率密度函数。
n越大,对随机过程统计特性的描述就越充分,但问题的复杂
性也随之增加。在一般实际问题中,掌握二维分布函数就已经足够
了。
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统
计特性, 但在实际工作中,有时不易或不需求出分布函数和概率密
度函数,而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性,更
简单直观。
1. 数学期望
设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是一个随机变
量,其概率密度函数为f1(x1, t1),则ξ(t1)的数学期望为
¥
E[x ( t )] = x f ( x , t ) dx
1ò­¥ 1 1 1 1
注意,这里t1是任取的,所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时
上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望,记作a(t), 于是
¥
a( t )= E [e ( t )] = x f ( x , t ) dx
ò­¥ 1
a(t)是时间t的函数,它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动
中心。
2. 方差
2
D[e ( t )] = E [x (t ) ­ a ( t )]
=E[ x2 ( t )] ­ [ a ( t )] 2
¥
=x2 f( x , t ) dx ­ [ a ( t )]2
ò­¥ 1
D[ξ(t)]常记为σ2(t)。
可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在
时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关,因而它
们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。
为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系, 还需利用
二维概率密度引入新的数字特征。
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度
时,常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。协方差函
数定义为
B(t1,t2)=E{[ξ(t1)-a(t1)][ξ(t2)-a(t2)]}
¥ ¥
= [ x ­ a ( t )][ x ­ a ( t )] f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
ò­¥ ò ­¥ 1 1 2 2
式中,t1与t2是任取的两个时刻;a(t1)与a(t2)为在t1及t