文档介绍：小学数学讲题稿
河内塔问题
浏阳市新文学校周小芬
大家上午好,今天我的讲题内容是河内塔问题。如图所示:有编号为1、2、3号的三根杆子,在1号杆上有呈金字塔状排列的三颗珠子,你能借助2号把1号杆上的珠子移到3号杆而不改变珠子的上下顺序吗?最少移动多少次? 移动规则如下:
(1)每次只能移动一颗珠子;
(2)大珠子不能放到小珠子上面。
如果A杆上有4个珠子呢?至少移动多少次?
一、题目分析
河内塔问题源于印度的一个神话,本题动手操作性和综合性强,学生不容易根据题目中的已知条件和问题,找到解题方法。因此我的教学思路是:
。
,并做好记录,逐步总结出规律和方法。
,发散思,拓展延伸。
在学生动手操作之前,先强调操作的要求:1、不改变上下顺序;2、保证移动次数的最少;3、隐藏的已知条件是:1、2、3号杆都可以作为珠子的临时中转杆;约束条件是:中转杆上的珠子必须保持金字塔状。
二、由学生容易进入的误区探究出珠子移动次数最少的规律(题目的已知条件中要求借助2号杆,那么学生很容易理解成只能用2号杆作为中转,所以会在每次移动时先将最上面的那颗最小的珠子移入2号杆,但是,这样移动,能保证是最少的移动次数吗?)
给学生足够的操作探究的时间,让不同层次的学生尝试用自己的方法去解决这个问题。全班交流,会出现大致以下情况:
1、每次都先将最小珠移至2号杆,导致部移动次数不都是最少。
2、有学生举棋不定,无从入手。
3、有学生会将珠子在三根杆上来回移动,重复多次。
4、有学生将珠子移入中转杆时,顺序颠倒。
5、有学生会总结出最少移动次数的操作方法。
6、其他。
比较结果,得出最优策略,结果如下:
结果如下
1号杆珠子
颗数
1
2
3
4
最小珠先移入2号杆次数
2次
3次
11次
15次
最小珠先移入3号杆次数
1次
4次
7次
24次
探究出珠子移动次数最少的规律:
1、1号杆珠子为单数,最小珠先移入3号杆中转
2、1号杆珠子为双数,最小珠先移入2号杆中转
三、发现规律,拓展升华
珠子颗数
至少移动次数
移动次数的规律
1
1 2—1 2的1次方减1
1
2
3 4—1 2的2次方减1
1×2+ 1= 3
3
7 8—1 2的3次方减1
3 ×2+ 1 = 7
4
15 16—1 2的4次方减1
7 ×2+ 1 = 15
5
31 32—1 2的5次方减1
  15×2+ 1 = 31
n
2的n次方减1
是n—1颗珠子的2倍多1
根据所得出的结果找出河内塔问题的最终规律:
利用递推法,根据前一项和后一项珠子移动的最少次数,递推出它的规律是:后一项珠子移动次数是前一项的2倍多1;根据珠子移动的最少次数,发现它组成了一个规律为2的n次方减1的数列。(n代表珠子颗数)。