文档介绍：知识框架
掌握了数列的基本知识,特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质,掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用,就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法
1、求通项公式
(1)观察法。(2)由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan(d,q为常数)
例1、  已知{an}满足an+1=an+2,而且a1=1。求an。
例1、解  ∵an+1-an=2为常数∴{an}是首项为1,公差为2的等差数列
∴an=1+2(n-1) 即an=2n-1
例2、已知满足,而,求=?
(2)递推式为an+1=an+f(n)
例3、已知中,,求.
解: 由已知可知
令n=1,2,…,(n-1),代入得(n-1)个等式累加,即(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
说明 只要和f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的,就可以由an+1=an+f(n)以n=1,2,…,(n-1)代入,可得n-1个等式累加而求an。
(3)递推式为an+1=pan+q(p,q为常数)
例4、中,,对于n>1(n∈N)有,求.
解法一: 由已知递推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。两式相减:an+1-an=3(an-an-1)
因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列,其首项为a2-a1=(3×1+2)-1=4
∴an+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2  ∴3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1
解法二: 上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列,于是有:a2-a1=4,a3-a2=4·3,a4-a3=4·32,…,an-an-1=4·3n-2,
把n-1个等式累加得: ∴an=2·3n-1-1
(4)递推式为an+1=p an+q n(p,q为常数)
由上题的解法,得: ∴
(5)递推式为
思路:设,可以变形为:,
想
于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列,就转化为前面的类型。
求。
(6)递推式为Sn与an的关系式
关系;(2)试用n表示an。
∴
∴∴
上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。
∴2nan= 2+(n-1)·2=2n
数列求和的常用方法:
1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。
2、错项相减法:适用于差比数列(如果等差,等比,那么叫做差比数列)
即把每一项都乘以的公比,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。
3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。
适用于数列和(其中等差)
可裂项为:,
等差数列前项和的最值问题:
1、若等差数列的首项,公差,则前项和有最大值。
(ⅰ)若已知通项,则最大;
(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最大;
2、若等差数列的首项,公差,则前项和有最小值
(ⅰ)若已知通项,则最小;
(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最小;
数列通项的求法:
⑴公式法