文档介绍：张量分析(Tensor Analysis)
1)熟练运用符号与求和约定;
Objectives
2)熟练掌握张量以及包括基矢量、度量张量等基本张量的定义;
3)熟练掌握张量的运算法则;
4)熟练运用张量表示力学的基本方程。
张量的概念
在三维空间,一个矢量(例如力矢量、速度矢量等)在某参考坐标系中,有三个分量;这三个分量的集合,规定了这个矢量;当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态,有9个应力分量,如以直角坐标表示,用矩阵形式列出,则有:
这9个分量的集合,规定了一点的应力状态,称为应力张量。当坐标变换时,应力张量的分量按一定的变换法则变换。
张量的概念(续)
所谓张量是一个物理量或几何量,它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定,当坐标变换时,这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的阶和结构,这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量;应力张量、应变张量是二阶张量;还有三阶、四阶等高阶张量。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。采用张量记法表示的方程,在某一坐标系中成立,则在容许变换的其他坐标系中也成立,即张量方程具有不变性。
张量是佛克脱() 提出(用来表示晶体的应力(张力)状态)。
一、符号与求和约定
A) 指标
变量的集合:
表示为:
写在字符右下角的指标,例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标,例如yj 中的j称为上标;
使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母,除非作了说明,一般取从1到n的所有整数,其中n称为指标的范围。
B) 求和约定
若在一项中,同一个指标字母在上标和下标中重复出现,则表示要对这个指标遍历其范围1,2,3,…n求和。这是一个约定,称为求和约定。
式中 ai, p 是常数。这个方程可写成:
应用求和约定,则这个方程可写成如下形式:
遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自由指标。
例:三维空间的平面方程为:
B) 求和约定(续)
注:哑指标只是表示求和。在一项中,同一个指标字母的使用不能超过两次。
求和约定可以推广到微分公式:
设 f(x1,x2,···,xn) 为n个独立变量 x1,x2,···,xn 的函数,则它的微分可写成:
中 i被认为是下标。
C) 克罗内克(Kronecker)符号
克罗内克符号的定义是:
克罗内克符号也可写成ij或ij 。
C) 克罗内克符号(续)
例:空间直角坐标系中,线元矢量长度的平方为:
利用克罗内克符号,上式可写成:
克罗内克符号的一些常用性质:
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
当i,j,k是1,2,3的偶置换(123,231,312)
当i,j,k是1,2,3的奇置换(213,132,321)
当i,j,k的任意二个指标相同
D) 置换符号(续)
置换符号主要可用来展开三阶行列式:
若以表示行列式中的普遍项,以表示行列式,
则上述行列式可写成: