文档介绍：《线性代数与空间解析几何》小结
《线性代数》部分小结
:全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.
√关于:
①称为的标准正交基;
②线性无关;
③;
④;
⑤任意一个维向量都可以用线性表示.
行列式的定义
行列式的性质:①按行展开,零行为零,②等行为零,③拆项分和,④初等变换(提取因子,换行变号,倍加不变),比例为零,⑤转置相等.
√行列式的计算:
①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若都是方阵(不必同阶),则(拉普拉斯展开式)
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线: (即:所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和)
⑤范德蒙德行列式:
:或
伴随矩阵,为中各个元素的代数余子式.
√逆矩阵的求法:
①:
②
③
√方阵的幂的性质:
√设的列向量为,的列向量为,
则,:的列向量能由的列向量线性表示,为系数矩阵.
同理:的行向量能由的行向量线性表示,为系数矩阵.
即:
√用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;
用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.
√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√分块矩阵的转置矩阵:
分块矩阵的逆矩阵:
分块对角阵相乘:,
分块对角阵的伴随矩阵:
√矩阵方程的解法():设法化成
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.
部分相关,则整体相关;整体无关,则部分无关. (向量个数变动)
少维无关,则多维无关;多维相关,则少维相关. (向量维数变动)
两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关.
向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.
向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.(相关有一被表出)
向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.(无关无一被表出)
维列向量组线性相关;
维列向量组线性无关.
若线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.(无关加一变相关,后加唯一被表出)
矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩,(三秩相等).行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线,线的下方全为;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,,且这些非零元所在列的其他元素都是时,称为行最简形矩阵
矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系;(行变不改列相关)
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. (列变不改行相关)
即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:
对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘;
对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.
矩阵的秩如果矩阵存在不为零的阶子式,且任意阶子式均为零,
向量组的秩向量组的最大无关组所含向量的个数,
矩阵等价经过有限次初等变换化为. 记作:
向量组等价和可以相互线性表示. 记作:
矩阵与等价,可逆作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.
矩阵与作为向量组等价
矩阵与等价.
向量组可由向量组线性表示有解≤.
向量组可由向量组线性表示,且,则线性相关.(多被少表出,多的必相关)
向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.(无关被表出,个数不会多)
向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价;
.
向量组的最大无关组不唯一,但最大无关组所含向量个数唯一确定.
若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
设是矩阵,若,的行向量线性无关;
若,的列向量线性无关,即:线性无关.
√矩阵的秩的性质:
①≥≤≤②
③
④
⑤≤
⑥即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦若;
若
⑧等价标准型.
⑨≤≤≤
⑩
:
线性方程组的矩阵式向量式
矩阵转置的性质:
矩阵可逆的性质:
伴随矩阵的性质:
(无条件恒成立)