文档介绍：第三章最优化计算问题概论
最优化问题
最优化问题的提出
实例
生产计划中,在各种资源有限的前提下,如何安排生产,使生产成本达到最低?
工程施工中,要铺设一条从A地到B地输油管道,中间要经过n个中间站,而对于每个中间站又有mi个可选方案,如果各个方案在不同两点间的所需经费已知,如何选择一条最佳路线,使得总费用最低?
金融投资中,如何选择和设计证券组合或者投资项目组合,以便在可以接受的风险限度内获得尽可能大的投资回报?
机械设计中,如何在满足工作条件、裁荷和工艺要求,并在强度、刚度、寿命、尺寸范围及其他一些技术要求的限制条件下,寻找一组参数,以获得设计指标达到最优的设计方案?
针对化学过程如何设计控制方案,才能既优化其性能,又能保证其鲁棒性?
在电力分配中,由N个火力发电厂组成一个供电网,要求输出总负荷为S,该如何分配每个发电厂的发电量,在满足各电厂发电量约束的条件下使得总的生产消耗为最小?
数学描述
上述各类问题资源的最优利用问题,所有类似的这种课题统称为最优化问题,研究解决这些问题的科学一般就总称之为最优化理论和方法,用数学语言描述的话,最优化方法就是在给定的约束条件下,如何在某种范围内选取一些决策变量的取值,使得一个或者多个既定目标达到最优状态(极大、极小或者某种妥协状态)的一门学科。
最优化理论和方法的产生和发展
一些古老的方法
黄金分割法
阿基米德证明:如果给定平面几何图形的周长,则在各种图形中,圆所包围的面积为最大。
古典最优化方法——精确的分析方法
理论基础的建立——牛顿和莱布尼茨在他们所创建的微积分理论
有约束的最优化问题
变分法
最优化理论和方法
由于军事上的需要产生了运筹学
线性规划,非线性规划,动态规划
现代优化方法
遗传算法
神经网络
模拟退火
最优化问题的典型实例
资源利用问题
某工厂生产A、B两种产品,制造1吨A产品需要耗煤8吨,耗电3千瓦,耗时2个工作日;制造1吨B产品需要耗煤4吨,用电4千瓦,耗时9个工作日。已知制造1吨产品A和B分别可以获利6000元和8000元。现在该厂原料有煤300吨,电100千瓦,如果需要在200工作日内生产这两种产品并达到利润最大,应当如何安排A和B的生产数量
活动
资源
生产产品A
(吨)
生产产品B
(吨)
资源的供应量
煤(吨)
电力(千瓦)
工作日
利润(千元)
8
3
2
6
4
4
9
8
300
100
200
—
最优化问题的典型实例
资源利用问题
问题分析
设x1和x2分别代表产品A、B计划数(单位:吨),f表示利润(单位:千元),则问题就是确定A、B的生产数量x1和x2,既可以充分利用资源,又可以使利润最大化
生产A可获利8x1(千元),生产B可获利8x2(千元),故目标函数为优化设计的目标就是使得函数f最大化
煤的消耗总量应该小于300吨
电力资源的消耗不得高于其供应量100千瓦
劳动力时间的消耗不得高于300工作日
每种产品数量满足非负限制
数学模型
模型表达
最优化问题的典型实例
分派问题
假设某个项目有4项连续的任务构成,即完成了任务1才能开始任务2,完成了任务2之后才能开始任务3,以此类推。并且规定由项目组中的甲乙丙丁四名成员每人完成且仅完成其中的一项任务,四个项目组成员分别完成四项任务的时间如表所示,应该如何分配这些任务,即让哪个成员去完成哪个任务,可以使得花费的总时间最短
时间
成员
任务1
(天)
任务2
(天)
任务3
(天)
任务4
(天)
甲
乙
丙
丁
20
22
21
22
12
15
13
16
33
29
31
32
26
23
24
23
最优化问题的典型实例
分派问题
问题分析
设计变量
其中xij为0-1变量,i代表项目组成员的序号,j代表任务的序号,则:
x11、x12、x13、x14分别代表指派甲完成任务1、任务2、任务3、任务4
x21、x22、x23、x24分别代表指派乙完成任务1、任务2、任务3、任务4
x31、x32、x33、x34分别代表指派丙完成任务1、任务2、任务3、任务4
x41、x42、x43、x44分别代表指派丁完成任务1、任务2、任务3、任务4
该问题的目标就是选择一种合适的一对一的组合,使得最后所花费的时间总和最小。根据上述假设,我们可以得到目标函数,即所花费的总时间为:
最优化问题的典型实例
分派问题
问题分析
每个人只能完成一项任务每项工作有且仅有一人去完成
数学模型
最优化问题的典型实例
投资决策问题
某企业有n个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元,投资于第i(i=1,2,…n)个项目需花资金ai元,并预计可收益bi元。试选择最佳投资方案。
最优化问题的典型实例