文档介绍：2010年高考导数、函数专题策略分析(二)
厦门双十中学高中部郭俊芳
类型二、以指、对数函数为背景导数应用
六大重要基本函数元素
一次、二次、三次、反比例函数、ex(或e-x)、lnx六大函数的运算。
所有求导的导函数最终化为二次函数,二次函数的讨论层次:
二次项系数是参数,
判别式的正负,
若判别式为负,导数无根原函数恒增或恒减,若判别式为正,根的大小的讨论。
基本步骤
求导、列表、讨论单调性、求极值最值、画函数草图、研究函数零点
求导、写出切线方程、讨论切线方程的解的个数
构造新函数、方程、不等式,三个问题互相转化
。掌握十条、知己知彼。
稳定得分点:
(1)完整正确求导:如,,
(2)列出三行讨论单调性极值表格,
(3)求出极大、极小值。
(4)求出已知切点或可设切点的切线方程。
超平均得分点“
(1)对含参问题的全面准确讨论,
(2)对讨论的边界值的准确确定,
(3)讨论完的综述表达完整,
(4)函数、方程、不等式三个问题之间的灵活转化,
(5)多元字母问题的选择性消元计算,
(6)计算准确性和计算技巧与速度。
二、典型考例分析
例1.(2009天津高考)20(本小题满分12分)
已知函数其中
(1).当时,求曲线处的切线的斜率;.
(2) 当时,求函数的单调区间与极值。
以ex(或e-x)与x 的一次、二次函数运算为背景的函数模型
以ex(或e-x)与x的一次函数、二次函数运算为函数模型,考查导数对研究函数单调性、极值(或最值)、图象等问题,、二次函数与y=ex的乘除运算作研究,(x)=(ax
2+bx+c) ex;f(x)=(ax2+bx+c) e-x求导,其导数模型和原函数模型一致的,但求导后ex恒大于零,因此导数的正负取决于二次函数,其本质是对二次函数的研究。
解析:(1)
(2) =
以下分两种情况讨论。
(1)>,则<.当变化时,的变化情况如下表:
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
.
(2)<,则>,当变化时,的变化情况如下表:
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
.
例1变式.(2006年高考重庆第20题)
已知函数f(x)=(x2 +bx+c)ex,其中b,cR为常数.
(1)若b2>4(c-1),讨论函数f(x)的单调性;
(2)若b2≤4(c-1),且=4,试证:-6≤b≤2.
本题以x2+x+c与ex的积为背景函数,搭配参数b,(mx2 +nx+p)ex的形式,其正负取决于求导后的二次函数的正负,此类问题的关键依然是解含参的二次不等式.
解析:(Ⅰ)=[x2+(b+2)x+b+c]ex.
因b2>4(c-1),故=0即x2+(b+2)x+b+c=0时有两根;
x1=-,x2=-且x1<x2,
当>0,x<x1或x>x2;当>0, x1<x<x2.
故当x∈(-∞, x1)时,f(x)是增函数,当 x∈(x2,+∞)时,f(x)也是增函数,
但当x∈(x1 , x2)时,f(x)是减函数.
(Ⅱ)易知f(0)=c, =b+c,因此
.
所以, b+c=4
b2≤4(c-1),
因此b2+4b-12≤-6≤b≤2.
例2. (2009高考陕西20).(本小题满分12分)
已知函数,其中
(1)若在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求的单调区间;
(3)若的最小值为1,求a的取值范围。
预备知识:以一次函数、二次函数与y=lnx的运算为函数模型,考查导数对研究函数单调性、极值(或最值)、图象等问题,、二次函数与y=lnx的加减、乘除运算作研究,(x)=x+lnx;f(x)=x-lnx;f(x)= ; f(x)=;f(x)=x2+lnx;f(x)=x2-lnx;f(x)= ; f(x)=求导,研究其单调性和极值(最值),作出函数图象,推广一些常用的不等式,是命题的基本依据.
表三以一次函数与y=lnx的运算为背景的函数模型
函数
f(x)=x+lnx
f(x)=x-lnx
f(x)=
f(x)=
导函数
原函数单调性
上单调递增
(0,1)上单调递减,上单调递增
上单调递减,
上单调递增,
上单调递增
上单调递减
极(最)值
无最值