文档介绍：第七章多粒子系统全同性原理
在研究由许多相同的微观粒子组成的体系时,必须考虑到量子力学的又一基本原理——全同性原理。
这一章讨论多个相同粒子组成的系统。
在经典力学中,与处理单粒子系统相比较,处理相同粒子构成的多粒子系统时,新增加的需要考虑的因素就是系统的自由度增加,使具体计算增加困难,而在理论框架里并不需要添加新的原则。
在量子力学中则不然,在处理多个微观粒子组成的系统时,粒子的全同性要求在理论框架里增加新的原理。本章就来介绍量子力学的这个基本原理——全同性原理。
(一)全同粒子和全同性原理
(二)波函数的对称性质
(三)波函数对称性的不随时间变化
(四)Fermi 子和 Bose 子
(1)全同粒子
质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
(2)经典粒子的可区分性
经典力学中,固有性质完全相同的两个粒子,是可以区分的。因为二粒子在运动中,有各自确定的轨道,在任意时刻都有确定的位置和速度。
可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子
1
2
1
2
(一)全同粒子和全同性原理
(3)微观粒子的不可区分性
微观粒子运动
服从
量子力学
用
波函数描写
在波函数重叠区
粒子是不可区分的
(4)全同性原理
全同粒子所组成的体系中,二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。
全同性原理是量子力学的基本原理之一。
相同的微观粒子,例如电子,具有完全相同的物理性质。
当它们能够用经典力学描述时,具体说来就是,如果它们的德布洛意波长相对于运动的空间范围很短,描述它们的波函数在空间中的重叠很小,以致于可以认为它们各自沿自己的轨道运动时,它们仍不失去自己的“个性”。
在此情况下,可以给组成系统的每个粒子标一个号码。只要在某一瞬时这样标了号,则在以后可以追随着它们的运动,在任一时刻重新识别每个粒子
但是,如果组成系统的各个粒子的波函数在空间中有显著的重叠,使得经典近似失效,情况就变了。
由于测不准关系,关于粒子“轨道”的概念失去了意义。即使在某一瞬时,给粒子编了号,在另一瞬时仍然无法辨认它们。
在量子力学中,相同的粒子完全失去了自己的“个性”,无法加以区分,这称为全同性原理。这一原理对由相同的微观粒子组成的多粒子系统的波函数加了很强的限制。
在量子力学中,描述同一状态的波函数可以差一个相因子,而且只能差一个相因子。
因此ψ(q1,q2) = eiαψ(q2,q1) ()
其中α为某一实数,它由粒子本身的性质决定
在ψ(q2,q1)中交换q1 和 q2,有ψ(q2,q1) = eiαψ(q1,q2)
代入()式,得到ψ(q1,q2) = eiαψ(q2,q1) = e2 iαψ(q1,q2)
e2iα= 1,eiα=±1
代入()式,得到ψ(q1, q2)=±ψ(q2, q1). ()
即:描述全同粒子系统的波函数,在交换两个粒子的全部变量时(简单说就是:在交换两个粒子时),
只能是或者对称——交换后波函数不变,
或者反对称——交换后波函数改号。
将全同性原理和叠加原理结合,可以得到一个重要结论:
全同粒子系统的波函数,对于两个粒子的交换是对称还是反对称,完全决定于粒子本身的性质,与所处的状态以及系统中粒子的数目无关。
证:用反证法
设ψI(q1, q2) 和ψII(q1, q2) 分别对粒子交换对称和反对称:ψI(q1, q2)=ψI(q2,q1),ψII(q1,q2)=-ψII(q2,q1)
由它们叠加成的波函数
ψ(q1,q2)=cIψI + cIIψII
将是既不对称又不反对称:
ψ(q1,q2) = cIψI(q2,q1) - cIIψII(q2,q1) ≠±ψ(q2,q1)
违反了全同性原理。
ψI和ψII对于两粒子的交换必须有相同对称性。
设ψ(q1,q2 ,q3)对头两个粒子的交换对称,对后两个粒子的交换反对称,则有:
这样就产生了矛盾,从而表明,ψ(q1,q2,q3)只能是对于任意两个粒子的交换都对称或者对于任意两个粒子的交换都反对称。【证毕】
玻色子所组成的系统的波函数对于粒子的交换对称,;
费米子所组成的系统的波函数对于粒子的交换反对称,
它们分别服从玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计
实验表明:对于每一种粒子,它们的多粒子波函数的交换对称性是完全确定的,而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。
(1)Bose 子
自旋为整数倍(s = 0,1,2,……) 的粒子,其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是对称的,遵从Bose统计,故称为 Bose 子
如:光子(s =1); 介子(s = 0)。
Fermi 子和 Bose 子
(2)Fermi