5.3二次型与矩阵的相合.ppt

文档介绍：一二次型的定义
§ 二次型与矩阵的相合
其中
称如下形式实系数二次齐次多项式为二次型:
令
称为二次型的秩
对称阵,
二次型与实对称阵是一一对应的,
注
记为
称为的二次型矩阵
二次型的矩阵形式
的矩阵为实对称阵,
而非任意实矩阵.
注1
注2
即使不是实对称阵,
仍为二次型,但对应矩阵为.
已知,如何写出它的二次型矩阵?
设
1)若是元函数,则是阶矩阵.
2)
中前的系数,
中前的系数
例1 写出如下二次型的矩阵
1)
2)
3)
二二次型的化简
的标准形
可逆
?
?
使得
取
存在正交阵,使得
(*)
(*)成立.
定理
任何秩为的二次型
正交阵
其中是的不为0的特征值,
若,
无0特征值.
若,
0是的重特征值.
注1
意义是将坐标系绕着原点旋转,因此,
正交变换( 正交阵)的几何
变换前后曲面(线)的形状不变.
经过正交变换化成的标准形,其平方
注2
项前的系数由的特征值组成.
若存在可逆矩阵
定义
是阶方阵,
使得
称与合同.
性质
若与合同,则