文档介绍：§ 概率的
古典定义
古典概型
定义:如果试验具有如下两个特点:
1、试验的样本空间只包含有限个元素;
2、试验中每个基本事件发生的可能性相同。
则称为等可能概型,也称为古典概型。
这类随机现象在概率论发展初期即被注意,许多最初的
概率论结果也是对它作出的,一般把这类随机现象的数
学模型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重
要的地位,它具有简单、直观的特点,且应用广泛。
如何理解古典概型中的等可能假设?
等可能性是古典概型的两大假设之一,有了这两个假设,给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上,所讨论问题是否符合等可能假设,一般不是通过实际验证,而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的。例如,骰子是正六面形,当质量均匀分布时,投掷一次,每面朝上的可能性都相等;装在袋中的小球,颜色可以不同,只要大小和形状相同,摸出其中任一个的可能性都相等。因此,等可能假设不是人为的,而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的。
概率的古典定义
设试验的样本空间总共有N个等可能的基本事件,其中
有且仅有M个基本事件是包含于随机事件A的,则随机
事件A所包含的基本事件数M与基本事件总数N的比值
称为随机事件A的概率,记作P(A):
例1 从
十个数字中任取一个数字,求取得
奇数数字的概率.
解:
基本事件总数N=10,设事件A表示取得奇数数字,
则A所包含的基本事件数为M=5,故所求的概率为
例2 袋内有三个白球两个黑球,从中任取两个球,求
取出的两个球都是白球的概率。
解:
设事件A表示取出的两个球都是白球,则样本
空间包含的基本事件数为
事件A包含的基本事件数为
则
例4 袋内有a个白球b个黑球,每次从袋中任取一个,
取出的球不再放回,接连取k个球
求第k次
取得白球的概率。
解:
设A={第k次取出白球},现把a个白球b个黑球看成
无区别的,将白球排在a+b个位置上,只要白球位置定
了,其它位置就是放黑球,而a个白球可以在a+b个位
置中任选,故有
种取法。
即样本空间总数为
由于第k个位置必放白球,故余下的a-1个白球可以在
a+b-1个位置上任选,故A的样本点数为
从而
练****将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去, 试求每个
盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限).
将n只球放入N个盒子, 每种放法是一基本事件,共有
解
种不同放法, 而每个盒子中至多
放一只球共有
种不同放法,
故所求概率为
因而, n个人中至少有两人生日相同的概率为
许多问题和本例有相同的数学模型
例如, 假设每人的生日在一年365天的任一天是等可能的,
即都等于1/365, 则随机选取n(365)个人, 他们的生日各
不相同的概率为