文档介绍：品析一道新旧融合名题背景的高考题
2011年高考湖北数学卷理科第15题是一道很值得品味的考题。该题图文并茂、能力立意、新旧融合、背景新颖厚重、渗透课改理念,重点考查学生阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力,考查分类讨论思想、合情推理能力和数学素养。
 
题目  给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相连的着色方案如下图1所示:
         
  图1                            图2
由此推断,当时,黑色正方形互不相连的着色方案共有       种,至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有       种,(结果用数值表示)。
 
本题图文并茂信息量大,信息的选择直接影响解题方向。题目中给出的当时,黑色正方形互不相连的着色方案的4组图形信息,看是可有可无好象只是用来帮助考生理解题意的,其实不然,这四组图形信息才是本命题的最大亮点,若去掉这一图形信息该命题则黯然失色命题效果则大打折扣。笔者认为给出的四组图形的结构不尽合理,不符合分类讨论由易到难由简到繁循序渐进的认知规律,特别是
时的着色方案图给人分类混乱之感。若将给出的四组图换成图2的结构形式,更能帮助考生理解题意,这样命题就更加完美了,这不能不说是本命题的一个小小的瑕疵,当然瑕不掩瑜。如果认为图形信息只是用来帮助理解题意,可得如下解法1,若将四组图形当作是四个特例,作为归纳的起点可得如下解法2。可见这一图形信息不仅用来帮助理解题意,而且给考生提供了更多的思维空间,给考生创造性地简捷有效地解决问题提供了平台。
 
解法1  去掉四组图形信息后本题即为:给个自上而下相连的正方形着黑色或白色,黑色正方形互不相连的着色方案共有多少种,至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有多少种(结果用数值表示)。
 
由于黑色正方形互不相连,涂黑的小正方形个数可以是。显然,当k=0时,6 个正方形全白只1种涂法;当k=1时,即只有一个正方形涂黑有6种涂法;当k=2时,在6个正方形中有两个涂黑又互不相邻,可采用插空法,先自上而下排好 4个白色正方形,这样形成5个空档,任选两个空档插入2个黑色正方形有种方法;当k=3时,在6个正方形中有三个涂黑又互不相邻,同样用插空法,先自上而下排好 3个白色正方形,这样形成4个空档,任选3个空档插入3个黑色正方形有种插法。
 
综上可知,给个自上而下相连的正方形着黑色或白色,黑色正方形互不相连的着色方案共有种。
 
每个小正方形都有黑、白两种填法,所以6个小正方形共有种填法。如前所述,其中黑色正方形互不相连的着色方案有21种,故至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有64-21=43种。
 
解法2  将问题一般化,构建数列模型。用表示给个自上而下相连的正方形着黑色或白色,其中黑色正方形互不相连的着色方案种数。由这四组图形容易得出,,观察这个数列,如果考生能发现这几项是著名的斐波那契数列(也称黄金数列)的前几项,或能从中发现:,,由此提出猜想:从第三项起后面一项等于前两项之和即。于是,,故给个自上而下相连的正方形着黑色或白色,黑色正方形互不相连的着色方案共有种。下同法1略。
 
另一方面,由于采用不完全归纳法,从有限的几项归纳出的结