文档介绍：微积分 II
参考教材:
(1) 谭泽光等,《微积分(II)》,清华大学出版社 2003 年 9 月第一版,ISBN
7-302-06917-4/O·310;
(2) 韩云瑞,扈志明,《微积分学习指导》,清华大学出版社 2005 年 5 月第二版,
ISBN 7-302-10562-6/O·446;
(3) 张筑生,《数学分析新讲》,北京大学出版社 1990 年 1 月第一版,ISBN
7-301-00846-5/O·153;
(4) 费定晖,周学圣,《数学分析习题集题解》,山东科技出版社 2006 年 10 月第
三版,ISBN 7-5331-0099-9/O·5
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2nd edition - released on Sep 16th, 2007.
编者注:本笔记中包括很多数学分析的内容,但难度不超出微积分(2)的课程难度,
在时间允许的条件下了解一下对大家有益无害。很多书本上没有的知识(如众多的
Dirichlet 和 Abel 判别法)在实际应用中还是很有用的。但本笔记中也有很多拔得太
高以至于基本上用不到的结论(如最后的“两个有趣的例子”),对于这些内容大家
还要注意鉴别,想全部看完和记住这些东西还是很困难的,甚至连作者本人也是一
样,现在我就有很多东西看不懂了。:-P
微积分(2)与微积分(1)、(3)不同的地方是对理论和分析的要求极高,经常要证明一
些显而易见的“弱智”结论,奉劝各位:守得住清贫,方可成正果。
本笔记的小部分由课堂笔记整理而成,大部分是本人的课外研究成果。由于水平和
时间所限,难免有各种错误和遗漏(注意,这可不是客套话!:),有错误和问题欢迎
致信 ******@..(当然,前提是我自己还记得那里是
怎么回事:-P)
注:对于线性空间 V,若αβ∈∉VV, ,则αβ+ ∉V . 否则由 V 对数乘的封闭性知−∈α V ,
由 V 对加法的封闭性知()()αβ++−=∈αβV 与β∉V 矛盾。对于本文中的线性空间(一
致连续、常义可积、广义可积、收敛、一致收敛)都有类似的性质,这一点在证明时
不再重复。
1 极限与连续
为书写方便,定义数列的四则运算如下:对于任意两个数列{}an 和{}bn ,定义
1
{}{}{}n±= n, cabnnn=±;{}{}{}abnni = c n, cabnnn= ;1/{acnn }= { }, cn = .
an
注意 1 数列有界是收敛的必要不充分条件,数列无界是发散的充分不必要条件(如
n
{}{(1)}an =−有界但不收敛)。
注意 2 数列{}an 无界是 n →∞时{}an 是无穷大量的必要不充分条件(如数列
nπ
{}{sin}an= ). 但无界数列一定存在一个当 n →∞时是无穷大量的子列。
n 2
注意 3 必须注意定理 (极限有界性定理)的推论是充分不必要的。对于收敛数
列{}an 和{}bn ,如果∃∈N
使 nN> 时有 abnn> ,只能证明 limabnn≥ lim ,如
nn→∞→∞
1 (1)− n
{}{}an = ,{}{0}bn = ;同时条件也不能加强为 limabnn≥ lim ,如{}{an = },
n nn→∞→∞ n
{}{0}bn = . 同样地,其逆否命题的结论也不能加强为 limabnn> lim .
nn→∞→∞
(2007 年 3 月 14 日)
注意 4 Dirichlet 函数可以写成 Dx()= limlimcosn ()π mx ! .
mn→∞{ →∞}
注意 5 函数在无限区间上一致连续不要求 f ()x 有界,如 f ()xx= .
(2007 年 4 月 5 日)
注意 6 “初等函数在定义区间上是连续函数”不能说成“初等函数在定义域内是连
续函数”。因为有些初等函数可能有孤立的点,这时连续条件不适用。
(2007 年 5 月 11 日)
注意 7 “∀>ε 0 ,{an}均有无限多项满足 aAn −< ε”是“{an}收敛于 A”的必要不
充分条件. 原因就是由已知条件只能推出∀ε> 0 ,存在{an}的一个子列收敛于 A,这
并不满足定理 (数列极限与子列极限的关系)的充分条件。任取一个发散的有界
数列,利用 Bolzano-Weierstrass 定理可以很容易发现充分性不成立。
注意 8 “数列{an}不收敛于 A”的一个等价描述是“∃ε 0 > 0 使{an}中有无穷多项满
足 a