1 / 25
文档名称:

微专题8 切线与公切线问题.docx

格式:docx   大小:139KB   页数:25页
下载后只包含 1 个 DOCX 格式的文档,没有任何的图纸或源代码,查看文件列表

如果您已付费下载过本站文档,您可以点这里二次下载

分享

预览

微专题8 切线与公切线问题.docx

上传人:和合 2024/4/4 文件大小:139 KB

下载得到文件列表

微专题8 切线与公切线问题.docx

相关文档

文档介绍

文档介绍:该【微专题8 切线与公切线问题 】是由【和合】上传分享,文档一共【25】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【微专题8 切线与公切线问题 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。微专题8 切线与公切线问题高考定位曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点,一般单独考查,难度较小,也可与函数的单调性、极值、最值综合考查,难度较大.【真题体验】1.(2023·全国甲卷)曲线y=在点处的切线方程为( )=x ==x+ =x+答案 C解析由题意可知y′==,则曲线y=在点处的切线斜率k=y′|x=1=,所以曲线y=在点处的切线方程为y-=(x-1),即y=x+,.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )=-2x-1 =-2x+=2x-3 =2x+1答案 B解析 f(1)=1-2=-1,切点坐标为(1,-1),又f′(x)=4x3-6x2,所以切线的斜率k=f′(1)=4×13-6×12=-2,切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+.(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )<a <<a<eb <b<ea答案 D解析根据y=ex图象特征,y=ex是下凸函数,又过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则点(a,b)在曲线y=ex的下方且在x轴的上方,得0<b<.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,(-∞,-4)∪(0,+∞)解析因为y=(x+a)ex,所以y′=(x+a+1)(x0,(x0+a)ex0),O为坐标原点,依题意得,切线斜率kOA=y′|x=x0=(x0+a+1)ex0=,化简得x+ax0-a==(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,所以关于x0的方程x+ax0-a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).5.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________, y=x y=-x解析先求当x>0时,曲线y=lnx过原点的切线方程,设切点为(x0,y0),则由y′=,得切线斜率为,又切线的斜率为,所以=,解得y0=1,代入y=lnx,得x0=e,所以切线斜率为,切线方程为y=<0时的切线方程为y=-,两条切线方程为y=x,y=-x.【热点突破】热点一曲线的切线导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上,(1)(2023·北京东城区模拟)过坐标原点作曲线y=ex-2+1的切线,则切线方程为( )=x ==x =ex(2)(2023·西安模拟)过点(1,2)可作三条直线与曲线f(x)=x3-3x+a相切,则实数a的取值范围为( )A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)答案(1)A (2)D解析(1)由y=ex-2+1,可得y′=ex-2,设切点坐标为(t,et-2+1),可得切线方程为y-(et-2+1)=et-2(x-t),把原点(0,0)代入切线方程,可得0-(et-2+1)=et-2(0-t),即(t-1)et-2=1,解得t=2,所以切线方程为y-(e0+1)=e0(x-2),即y=x.(2)f(x)=x3-3x+a,f′(x)=3x2-3,设切点为(x0,x-3x0+a),则切线方程为y-(x-3x0+a)=(3x-3)(x-x0),切线过点(1,2),则2-(x-3x0+a)=(3x-3)(1-x0),整理得到a=2x-3x+5,(x)=2x3-3x2+5,则g′(x)=6x2-6x,令g′(x)=0,则x=0或x=1,当x<0或x>1时,g′(x)>0,g(x)在(-∞,0)和(1,+∞)上单调递增;当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减,极大值g(0)=5,极小值g(1)=4,函数y=a与y=2x-3x+5有三个交点,则4<a<5,a的取值范围为(4,5).规律方法求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上,这个点都不一定是切点),应先设切点的坐标,再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)(1)(2023·郑州二模)已知曲线y=xlnx+ae-x在点x=1处的切线方程为2x-y+b=0,则b=( )A.-1 B.-2C.-3 (2)(2023·南昌模拟)函数f(x)=x3-ax在x=1处的切线平行于直线x-y-1=0,(1)C (2)-2解析(1)由题意可得y′=lnx+1-ae-x,根据导数的几何意义可知,在点x=1处的切线斜率为1-=2,解得a=-(1,-1),代入切线方程可得2+1+b=0,解得b=-3.(2)f′(x)=3x2-a,由题意f′(1)=3-a=1,即a=2,所以f(x)=x3-2x,则f(1)=-1,故f(x)在x=1处的切线方程为y-(-1)=x-1,即y=x-2,则切线在y轴上的截距为-,重点是导数的几何意义,通过双变量的处理,从而转化为零点问题,主要考查消元、转化、构造函数、 切点相同的公切线问题例2(1)已知曲线f(x)=x2-2m,g(x)=3lnx-x,若y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则m=( )A.-3 (2)若存在a>0,使得曲线f(x)=6a2lnx与g(x)=x2-4ax-b在公共点处的切线相同,则b的最大值为( )A.- B.-C. (1)B (2)D解析(1)设曲线f(x)=x2-2m和g(x)=3lnx-x的公共点为(x0,y0),则即解得x0=m=1.(2)设曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点为(x0,y0),∵f′(x)=,g′(x)=2x-4a,∴2x0-4a=,则x-2ax0-3a2=0,解得x0=-a或3a,又x0>0,且a>0,则x0=3a.∵f(x0)=g(x0),∴x-4ax0-b=6a2lnx0,b=-3a2-6a2ln3a(a>0).设h(a)=b,∴h′(a)=-12a(1+ln3a),令h′(a)=0,得a=.∴当0<a<时,h′(a)>0;当a>时,h′(a)<0.∴b的最大值为h=.考向2 切点不同的公切线问题例3(1)(2023·邵阳二模)已知直线l是曲线y=ln(x-2)+2与y=ln(x-1)的公切线,则直线l与x轴的交点坐标为________.(2)已知曲线C1:y=ex+x,C2:y=-x2+2x+a(a>0),若有且只有一条直线同时与C1,C2都相切,则a=(1) (2)1解析(1)设直线l与曲线y=ln(x-2)+2和y=ln(x-1)分别相切于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,分别求导得y′=,y′=,故l:y-=(x-x1),整理可得y=x+ln(x1-2)+2-.同理得l:y-ln(x2-1)=(x-x2),整理可得y=x+ln(x2-1)-.因为直线l为两曲线的公切线,所以解得所以直线l的方程为y=2x-3-ln2,令y=0,则x=.则直线l与x轴的交点坐标为.(2)设l与C1相切于P(x1,ex1+x1),与C2相切于点Q(x2,-x+2x2+a),由C1:y=ex+x,得y′=ex+1,则与C1相切于点P的切线方程为y-ex1-x1=(ex1+1)(x-x1),即y=x(1+ex1)-x1ex1+:y=-x2+2x+a,得y′=-2x+2,则与C2相切于点Q的切线方程为y+x-2x2-a=(-2x2+2)(x-x2),即y=x(2-2x2)+a+x,因为两切线重合,所以1+ex1=2-2x2,①ex1-x1ex1=a+x,②由①得x2=,代入②得4(1-x1)ex1=4a+1-2ex1+e2x1,化简得e2x1-6ex1+4x1ex1=-1-4a,可得x1=0,a==,如果同时考虑两条曲线与直线相切,头绪会比较乱,为了使思路更清晰,一般是把两条曲线分开考虑,先分析其中一条曲线与直线相切,再分析另一条曲线与直线相切,(1)(2023·济南调研)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=-2x2+m,g(x)=-3lnx-x,若以上两函数的图象有公共点,且在公共点处切线相同,则m的值为( ) (2)直线l:y=kx+b是曲线f(x)=ln(x+1)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线,则b=( ) (2e)答案(1)C (2)C解析(1)根据题意,设两曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点为(a,b),其中a>0,由f(x)=-2x2+m,可得f′(x)=-4x,则切线的斜率为k=f′(a)=-4a,由g(x)=-3lnx-x,可得g′(x)=--1,则切线的斜率为k=g′(a)=--1,因为两函数的图象有公共点,且在公共点处切线相同,所以-4a=--1,解得a=1或a=-(舍去),又由g(1)=-1,即公共点的坐标为(1,-1),将点(1,-1)代入f(x)=-2x2+m,可得m=1.(2)设直线l与曲线f(x)=ln(x+1)相切于点A(x1,y1),直线l与曲线g(x)=ln(e2x)相切于点B(x2,y2).∵f(x)=ln(x+1),则f′(x)=,由f′(x1)==k,可得x1=,则y1=f(x1)=ln(x1+1)=-lnk,即点A,将点A的坐标代入直线l的方程可得-lnk=k·+b,可得b=k-lnk-1,①∵g(x)=ln(e2x)=2+lnx,则g′(x)=,由g′(x2)==k,可得x2=,y2=g(x2)=2-lnk,即点B,将点B的坐标代入直线l的方程可得2-lnk=k·+b=b+1,∴b=1-lnk,②联立①②可得k=2,b=1-ln2=ln.【精准强化练】一、(x)=2f′(1)·x+xlnx在x=1处的切线方程为( )=2x-2 =2x+=-x-1 =x-1答案 C解析因为f′(x)=2f′(1)+lnx+1,所以f′(1)=2f′(1)+1,即f′(1)=-1,所以f(1)=2f′(1)=-2,所以切线方程为y-(-2)=-(x-1),即y=-x-.(多选)(2023·漳州模拟)已知函数f(x)=ex,则下列结论正确的是( )=f(x)=f(x)的切线斜率可以是-(0,1)且与曲线y=f(x)(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有2条答案 AC解析对于A,令f′(x)=ex=1,得x=0,所以曲线y=f(x)的切线斜率可以是1,故A正确;对于B,令f′(x)=ex=-1,无解,所以曲线y=f(x)的切线斜率不可以是-1,故B错误;对于C,因为点(0,1)在曲线上,所以点(0,1)是切点,则f′(0)=1,所以切线方程为y-1=x,即y=x+1,