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(?t)=?f(t),所以f(t+6)=?f(t+3)=f(t),f(x)f(1)=3f(?1)=?f(1)=?3故的一个周期为6,因为,所以,对于f(t)=f(?t+3),令t=2,得f=(2)f=(1)3,则f(?2)=?3,t=3f=(3)f=(0)0f(?3)=0t=4()()令,得,则,令,得f4=f?1=?3,令t=5,得f(5)=f(?2)=?3,令t=6,得f(6)=f(?3)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=3+3+0?3?3+0=0所以,2023=337×6+1f(x)又,所以由的周期性可得:第9页/共26页:..2023∑f(k=)f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2023=)f(1=)3,=1故选:=f(x)x∈R【点睛】设函数,,a>0,a?(x+a)=f(x?a)f(x)(1)若,则函数的周期为2a;f(x+a)=?f(x)f(x)(2)若,则函数的周期为2a;1f(x+a)=?()(3)若,则函数fx的周期为2a;f(x)1f(x+a)=()(4)若,则函数fx的周期为2a;f(x)f(x+a)=f(x+b)f(x)a?b(5)若,则函数的周期为;f(x)x=af(x)2b?a(6)若函数的图象关于直线与x=b对称,则函数的周期为;f(x)(a,0)(b,0)f(x)2b?a(7)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则函数的周期为;f(x)x=a(b,0)f(x)4b?a(8)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则函数的周期为;f(x)x=af(x)(9)若函数是偶函数,且其图象关于直线对称,则的周期为2a;f(x)x=af(x)(10)若函数是奇函数,且其图象关于直线对称,,圆锥VAB内有一个内切球O,球O与母线VA,VB分别切于点C,?VAB是边长为2的等边三角形,O为圆锥底面圆的中心,MN为圆O的一条直径(MN与AB不重合),则下列说法正确的11是()::..?3??0,?3??,则PM+PN最大值为22【答案】ABD【解析】【分析】利用球的表面积公式及圆锥的侧面积的公式可判断A,由圆锥曲线定义可得选项B正确,求出点到面的距离的范围,进而可得体积的取值范围可判断C,写出PM+PN的表达式,利用三角函数函数可得PM+PN的最大值,从而判断选项D.【详解】对选项A,设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,圆锥的母线长为l,因为?VAB是边长为2的等边三角形,则r=1,l=2,连接OC,OO,OA,由条件可知,OC⊥CA,OO⊥OA,且OC=OO=R,1111则?OCA≌?OOA,所以∠OAO=30?,1133则OO=OA?tan30?=,即R=,11334π=S4=πR2=Sπ=rl2π,所以球的表面积,圆锥的侧面积132所以球的表面积与圆锥的侧面积之比为2:3,故选项A正确;因为平面CMN与母线VB平行,所以截得圆锥侧面的交线形状为抛物线,故选项B正确;对选项C,由题意O是MN的中点,所以四面体CDMN的体积等于2V,1M?DCO1CDOdN设点M到平面的距离为,当M,处于A,B时,d=0,1当M,N处于弧AB中点时,d最大,为1,所以d∈(0,1],如图作CQ⊥AB交AB于Q,由对选项A可知,=CAAO=1,1113则CQ=CA?sin60?=,AQ=,所以OQ=,从而CD=1,2212第11页/共26页:..133所以△CDO的面积S=×1×=,12241133所以V=S?d=×d=d,M?DCO13?DCO13412d∈(0,1]33因为,所以V∈(0,],故2V∈(0,],M?DCO112M?DCO16?3?所以四面体CDMN的体积的取值范围是?0,?,故选项C不正确;?6??对选项D,由题意得球面和圆锥侧面的交线为以CD为直径的圆,以O为坐标原点,OM所在直线为x轴,OO为z轴,建立空间直角坐标系,111113则M(1,0,0),N(?1,0,0),设P(cosθ,sinθ,),22211则PM=(cosθ?1)2+(sinθ)2+1=2?cosθ,2211PM=(cosθ+1)2+(sinθ)2+1=2+cosθ,22所以PM+PN=2+cosθ+2?cosθ,所以(PM+PN)2=2+cosθ+2?cosθ+2(2+cosθ)(2+cosθ)即(PM+PN)2=4+24?cos2θ,所以当cosθ=0时,(PM+PN)2有最大值22,::..二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)×4的方格ABCD中,使得每行和每列中的数的乘积都等于10,共有__________种不同的填法.【答案】216【解析】【分析】根据10=1×2×5×1,结合排列的定义、分步乘法计数原理进行求解即可.【详解】问题等价于填入数字1,1,2,5,满足每行每列都有一个2和一个5,先填入2,共有4!=24种填法,对于其中任一给定的2的填法,5仅有3×3=9种填法,故共有24×9=:“世界客都”之称的广东省梅州市城区,是一间收藏、研究、展示客家历史文化的综合性博物馆,其主馆是一座圆台形建筑,,其上、下底面圆的半径分别为3米和6米,母线长为5米,则该圆台的体积约为______立方米.(结果保留整数)第13页/共26页:..【答案】264【解析】【分析】由题意可得该圆台的高,利用圆台的体积公式求解即可.【详解】圆台的上、下底面圆的半径分别为3米和6米,母线长为5米,由题意可得该圆台的高为52?(6?3)2=4米,1()则该圆台的体积为×9π+36π+9π×36π×4=84π≈:(x)=cosx的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的31?2π?(ω>0),纵坐标不变,所得图象与函数g(x)的图象关于x轴对称,若函数g(x)在0,上恰有两个ω???3??ππ?零点,且在?,上单调递增,则ω的取值范围是________.???1212??11?【答案】,4???4?【解析】?2π?【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到g(x)的解析式,然后结合函数在0,上恰有两个零点???3??ππ?以及在?,上单调递增,列出不等式组,即可求得本题答案.???1212?2π?2π?【详解】函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到ycos?x+?的图象,3?3?1?2π?再将图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到ycosωx+的图象,因为函数g(x)??ω?3??2π?的图象与ycosωx+的图象关于x轴对称,???3??2π??2ππ??π?所以g(x)=?cosωx+sinωx+?=sinωx+,???????3??32??6?2ππ2ωπ0≤x≤π≤ωx+≤π+因为,所以,36636第14页/共26页:..?π??2π?=g(x)sinωx+0,sin(kπ)=0k∈Z又因为??在恰有2个零点,且,,???6??3?2ωπ1117所以2π≤π+<3π,解得≤ω<,3644πππ2π2kππ2kπ令?+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,得?+2≤x≤+2,k∈Z,令k=0,得2262223ωω3ωω22?2ππ??ππ??2ππ?g(x)在?,上单调递增,所以?,??,,???????3ω3ω??1212??3ω3ω??2ππ?≤???3ω12所以?,又ω>0,解得0<ω≤?≥????3ω1211?11?综上所述,≤ω≤4,故ω的取值范围是,4.??4?4??11?故答案为:,4???4??ABCD的棱长为2,底面ABCD内(含边界)的距离与到平面11111ADDA的距离相等,则三棱锥P??4?【答案】,2???3?【解析】【分析】根据点P的位置及满足的条件可求得点P的轨迹是以C为焦点,AD为准线的抛物线在底面ABCD内的一部分,写出其轨迹方程,以D为坐标原点建立空间直角坐标系再利用空间向量可求得点P到平面ABD的距离的表达式,利用点P坐标的取值范围即可求出三棱锥P?【详解】根据题意可知,连接PC,在底面ABCD内作PE⊥AD于点E,如下图所示:的距离,PE为P到平面ADDA的距离,111所以PC=PE;第15页/共26页:..在底面ABCD内,由抛物线定义可知点P的轨迹是以C为焦点,AD为准线的抛物线的一部分,????????截取底面ABCD,分别以向量DA,DC为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,如下图所示:B(2,2)F(0,1)y又正方形边长为2,易知抛物线过点,,且对称轴为轴,?1?4a+b=2?a=设抛物线方程为=yax2+b,代入两点坐标可得?,解得?4?0+b=1?b=1?1y=x2+1(0≤x≤2)所以P的轨迹抛物线方程为,4?????????????以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示:1?????????A(2,0,0),B(2,2,2),D(0,0,2)AB=(0,2,2),AD=(?2,0,2)则,所以,1111?1??Pm,m2+1,0ABDn=(x,y,z)设??,平面的一个法向量为,?4?11?????????AB?n2y+2z0?则??????1,令z=1,解得x=1,y=?1,即=n(1,?1,1);?????AD?n=?2x+2z=01?????1?AP=?m2,m2+1,0,???4??????11m?2?m2?1?m2+m?3AP?nABD44则点P到平面的距离为d==,11?n33第16页/共26页:..1y=?m2+m?3(0≤m≤2)y∈[?3,?2]令,易得,41?m2+m?34?23?所以,d∈?,3?33??易知在三棱锥P?ABD中,底面ABD是边长为22的正三角形,111113所以S=×22×22×=23,?ABD2211123?4?所以三棱锥P?ABD的体积V=S=?dd∈,2;11?ABD??3113?3??4?即三棱锥P?ABD体积的取值范围为,???3??4?故答案为:,2???3?【点睛】方法点睛:利用抛物线定义可求出点P的轨迹方程,再利用空间向量求出点P到平面ABD的距11离的表达式,、解答题(本题共6小题,共70分)????????17.?ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB?AC=?1,?ABC的面积为2.(1)若a=22,求?ABC的周长;(2)设D为AC中点,求A到BD距离的最大值.【答案】(1)23+222(2)2【解析】1122【分析】(1)osA=?1和bcsinA=2,联立求得cosA=?,sinA=,进而求得233bc=3,结合余弦定理求出a的值,进而求得结果.(2)利用面积公式和基本不等式求最值,即可得出结果.【小问1详解】????????因为AB?AC=?1,osA=?1①,第17页/共26页:..1又因为?ABC的面积为2,所以有bcsinA=2②,2sinA显然cosA≠0,由①②得tanA==?22,cosA122所以cosA=?,sinA=,osA=?1得bc=3,33在?ABC中,因为b2+c=2?os=A,a22,所以b2+c2=6,得b+c=b2+c2+2bc=23,所以?ABC的周长为23+22.【小问2详解】112因为D为AC边上的中点,所以S=×bcsinA=,?ABD222????????????因为BD=AD?AB,????????????????????????????12()222所以BD=AD?AB=AD?2AD?AB+AB=c2+b2+1,411123因为c2+b2≥2c2?b2=bc=3,当且仅当=c=b时取等号,44231所以BD2c2+b2+1≥,2122因为S==BD?d,所以=d≤,?,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD⊥AB,AB?DC,PA⊥底面ABCD,点E为棱PC的中点,AD=DC=AP=2AB=:..(1)证明:BE//平面PAD;10PF(2)在棱PC上是否存在点F,使得二面角F?AD?C的余弦值为,若存在,求出的值,若不10PC存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析PF1(2)存在,=PC4【解析】【分析】(1)作出辅助线,得到四边形ABEG为平行四边形,从而证明AG//BE,线面平行;????????PF=λPC=(2λ,2λ,?2λ),0≤λ≤1(2)建立空间直角坐标系,设,利用二面角大小列出方程,求出1λ=,【小问1详解】在PD上找中点G,连接AG,EG,如图:∵G和E分别为PD和PC的中点,1∴EG//CD,且EG=CD,2又∵底面ABCD是直角梯形,CD=2AB,AB//CD,∴AB//GE且AB=,∴AG//BE,∵AG?平面PAD,BE?平面PAD,∴BE//平面PAD;【小问2详解】第19页/共26页:..因为PA⊥平面ABCD,AB,AD?平面ABCD,所以PA