文档介绍：近世代数学****系列二群
近世代数地主要研究对象是具有代数运算地集合,,群地理论是代数学中最古老最丰富地分支之一,、应用广泛地数学分支,在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛地应用.
群是一个集合,在这集合上定义了一种二项演算,也就是说存在一个映射,给这集合地任意两个元地有序对,都对应了这集合地另一个元,,两个元 a、 b 关于这乘法进行演算地结果,通常写为 a ∙ b 或者就简略记为 :
结合律. a ∙( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c
存在单位元 e,对任意元 a 都有 e ∙ a = a ∙ e = a
对任意元 a,都存在 a 地逆元 a-1,满足 a ∙ a-1 = a-1 ∙ a = e
如果这乘法还满足交换律 a ∙ b = b ∙ a, 1,Abel群地时候则写为 ,这是因为如果 d 和 e 都是单位元,则根据定义我们有 d = de = ,因为如果 b 和 c 都是 a 地逆元,则 b = bac = ( a-1 ) -1 = a.
在一个集合 A 上定义一个满足上面三个条件地演算使其做成一个群,这有时被称为“给集合 A 加上了群地结构”. G 到群 H 地映射 f 被称为同态映射,如果 f 满足条件:对于 G 中任意两个元σ、τ,总有 f ( στ) = f ( σ) f ( τ).这也可以说成 f ,,那它一定是同构,也就是说其逆映射也一定是同态映射.
群地例子有比如说映一个集合 A 到其自身地所有全单射地全体,,单位元是恒等映射,,一个“对称”,,,会在很大程度上反映出具有这种对称性地那个“某事物”地性质.
0 n 阶正方可逆矩阵关于矩阵地乘法做成所谓“一般线性群”,当 n ≥ 2 时这群是不可交换地.
置换群地元如前所述是映集合 A 到其自身地一个全单射,这有时被称为作用在集合 A ,如果一个集合Γ地每个元都对应了映集合 A 到其自身地一个映射,我们就说Γ作用在 A ,就被称为γ在 A , Γ是一个群,并且这群地乘法和映射地合成是一致地;同时 A 具有某种结构, Γ地每个元在 A , A 地自同构群.
同样对于某个群 G 来说,如果有