文档介绍：该【初中数学竞赛：三角函数 】是由【1781111****】上传分享，文档一共【9】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【初中数学竞赛：三角函数 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..初中数学竞赛:三角函数直角三角形中有两条直角边和一条斜边,从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比,这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关,这佯便定义了直角三角形中锐角的三角函数(如图3-14),常用的有:利用比例的变形并且结合勾股定理,可以从三角函数定义中推出同角三角函数间的关系式:(1)倒数关系tgα·ctgα=1;(2)商的关系(3)平方关系sin2α+cos2α=,它们在求值、-15所示,在直角三角形ABC中,∠A与∠B互为余角,根据三角函数定义不难得到互为余角的三角函数之间的关系::..sinB=sin(90°-A)=cosA,cosB=cos(90°-A)=sinA,tgB=tg(90°-A)=ctgA,ctgB=ctg(90°-A)=:一个锐角的余角的三角函数值,等于该锐角相应的余函数的函数值由图3-16可以看到,在直角三角形ABC中,如果斜边长度不变,当锐角A增大时,sinA与tgA的值也随之增大,,当A=0时,sin0=0,tg0=0,cos0=1,ctg0值不存在;当A=90°时,sin90°=1,tg90°值不存在,cos90°=0,ctg90°=,而直角三角形的斜边总是大于直角边,所以,当α为锐角时,总有0<sinα<1,0<cosα<,可以解决一些求值、,求15°°,45°,60°这些特殊角的三角函数值,,15°角的三角函数值,也可以利用直角三角形的性质将其推出.:..解如图3-△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB到D,使BD=BA,则所以所以说明将15°角的三角函数求值问题,通过构造适当的三角形,将它转化为30°角的三角函数问题,这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法,,我们很容易得到75°:(1)sin19°与cos70°;(2)ctg65°与cos40°;:..(3)cos1°,tg46°,sin88°和ctg38°.分析(1)利用互余角的三角函数关系式,将cos70°化为sin20°,再与sin19°比大小.(2)余切函数与余弦函数无法化为同名函数,但是可以利用某些特殊再将ctg65°,cos40°分别与ctg60°,cos45°比大小.(3)tg45°=1,显然cos1°,sin88°均小于1,而tg46°,ctg38°°与sin88°,以及tg46°与ctg38°(1)因为cos70°=cos(90°-20°)=sin20°,而sin19°<sin20°,所以sin19°<cos70°.(2)因为所以ctg60°<cos45°,所以ctg65°<cos40°.(3)因为ctg38°=ctg(90°-52°)=tg52°,所以tg52°>tg46°>tg45°=°=cos(90°-89°)=sin89°,所以sin88°<sin89°<1,所以ctg38°>tg46°>cos1°>sin88°.说明比较三角函数值的大小,一般分为三种类型:(1)同名的两个锐角三角函数值,可直接利用三角函数值随角变化的规律,通过比较角的大小来确定三角函数值的大小.(2)互为余函数的两锐角三角函数值,可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数,比较其大小.:..(3)不能化为同名的两个三角函数,可通过与某些“标准量”比大小,间接判断它们的大小关系,常选择的标准量有:0,1以及其他一些特殊角如30°,45°,60°:(1)tg1°·tg2°·tg3°·…·tg89°;分析(1)因为tg89°=tg(90°-1°)=ctg1°,而tg1°·ctg1°=1,所以,可将连乘积中的第一个因式与倒数第一个因式相乘,,将第二个因式与倒数第二个因式相乘,.(3)利用同角三角函数关系将正切函数化为正弦函数与余弦函数,再进一步化简求值.(4)将被开方式化为完全平方的形式,即1-2sin11°·cos11°=sin211°-2sin11°·cos11°+cos211°=(sin11°-cos11°)°<cos11°,所以根式化简后得cos11°-sin11°.(5)根据tgα=3,、分母同除以cos2α,(1)原式=tg1°·tg2°·tg3°·…·tg44°·tg45°·ctg44°·ctg43°·…·ctg3°·ctg2°·ctg1°=(tg1°·ctg1°)·(tg2°·ctg2°)·…·(tg44°·ctg44°)·tg45°:..=1·1·…·1=,在三角式变形、化简、,若求以tgα,,以tgα,ctgα为两根的一元二次方程是x2-(tgα+ctgα)x+tgα·ctgα=0,因此,解决问题的关键是求出tgα+:..所以(1)当sinα=cosα时,tgα=ctgα=1,所求方程为x2-2x+1=0,所求方程为即4x2-9x+4=,应注意运用分析法、综合法,+y2=1,且x≠-1,y≠-2,求证:分析本题如果直接用代数方法,通过代数式的运算证明等式成立,+y2=1,联想到sin2α+cos2α=1,因此可设x=sinα,y=cosα,则将代数式转化为三角式,利用三角函数有关公式进行变形,=sinα,y=cosα,则:..说明在一些代数等式的证明中,如果已知条件x2+y2=1或x2+y2=a(a>0),则可设从而将代数式转化为三角等式的证明问题,,因此化为三角式后,:sin6α+cos6α+3sin2α·cos2α+:(1)sin(90°-A)ctg(90°-A)=sinA;(2)sinAcos(90°-A)+cosAsin(90°-A)=1;,并求出它们的值:(1)(sinA+cosA)2+(sinA-cosA)2;:..:sin2A·tgA+cos2A·ctgA+2sinA·cosA=tgA+ctgA.