文档介绍：该【MIT公开课-线性代数笔记 】是由【幸福人生】上传分享，文档一共【41】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【MIT公开课-线性代数笔记 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。MIT公开课-线性代数笔记目录R:reducedmatrix,whichalwaysappearsinthetriangularmatrix,“IF00”I:identitymatrixS:eigenvectormatrixΛ:eigenvaluematrixC:cofactormatrix关于LINERALGEBA名垂青史的分析方法:由具象到抽象,由二维到高维。方程组的几何解释行图像,列图像矩阵乘法: 矩阵右乘向量(竖直):矩阵列的线性组合矩阵左乘向量(横平):矩阵行的线性组合矩阵消元课程目标:讨论消元法有效,以及无效的情况用矩阵语言描述消元法消元有效和失效消元目标:把A矩阵化为U矩阵(主元不能出现0)消元失效:主元是0:行交换可以解决主元为0的暂时性失效,但当底下的行中再也没有非0元素时,消元就彻底失效了。用矩阵来表示矩阵变换(消元)例:针对上一例,假设总变换E=E32E21,,这个矩阵对于消元法中出现的乘数来说太不直观了,然而E-1=E21-1E32-1,这个逆比较直观,因为它们是初等列变换的逆变换,只用改变乘数的系数就可以得到它们的逆,这就引出了下一章的内容:A的LU分解。=a+b+c+d=a+b+c+d置换矩阵乘法和逆矩阵矩阵乘法的四个方法AB=C左行乘右列线性组合列=a+b+c+d线性组合行=a+b+c+d左列乘右行矩阵的逆只有方阵才可能可逆(非方阵也可以求逆矩阵,不过是伪逆)左逆等于右逆没有逆的情况行列式为0,列向量共线存在非零向量X,使AX=0(零空间有非零元素)存在逆的情况求逆和解方程组是一回事Gauss-Jordan消元法例:步骤:就是所求的A-1。求逆总结正交矩阵Q-1=QT上三角或者下三角矩阵求逆:例:例:克拉默法则求逆(代数余子式)A的LU分解假设A和B都可逆,(AB)-1=B-1A-1,因为括号可以移动,就像先脱鞋子,再脱袜子,逆动作是先穿袜子,再穿鞋子(A-1)T=(AT)-1(转置和逆可以颠倒)A的LU分解例:A=,对其进行消元,目标是得到U。=ALUA=LUA=L’DU’3*3矩阵的情形E32E31E21A=UA=E21-1E31-1E32-1UA=LU例:E31E21=E和(E21)-1(E31)-1=L的例子:求E不容易,但是想要得到L,只要把所有消元乘数写进来,就可以得到!总结:E不好求,E不重要,好求的是L,重要的是L。一个n*n矩阵A,消元需要多少次?(“一次”:一般乘法+减法一次)n2+(n-1)2+…+22+12=考虑行互换的情形:转置与置换(3*3)互换0行:IP12=P13=总共有6种。如果取逆,只要把行换回去即可。逆矩阵仍然在这六个里。P-1=PT总结:A的LU分解,U是直观上看的消元得到上三角矩阵的结果,L比较特殊,它记录了每一次的行变换。要注意的是,因为L是初等变换矩阵的逆矩阵,所以L中对角线元素的符号不发生改变,但是要取倒数;而其他元素的符号均发生改变。转置-置换-向量空间R置换矩阵:P,用来完成行互换的矩阵。置换矩阵是行重新排列了的单位矩阵。置换矩阵的逆矩阵和它的转置矩阵相等。PTP=(略)对称矩阵:symmetricmatrix,转置后和原矩阵相等(注意:对角线两边符号不同也有可能是对称矩阵,满足AT=A即可)。ATA一定是一个对称阵。向量空间:向量张成的空间。因为向量乘以0必须在向量空间里,所以向量空间的子空间必定过原点。一个向量空间本身就是它自己的一个子空间。它是最大的子空间。零向量是所有实空间的子空间。它总是构成最小的子空间。矩阵如何构造子空间?通过列向量构造。每列的元素个数m代表这个列向量属于几维的空间,如果列向量个数n<m,代表这个矩阵展现的是“降维打击“,此时列向量的所有线性组合(列空间)构成一个子空间。个人将其命名为“棒型矩阵”。求解AX=0:主变量,特解注:主元,每行的第一个非零元素课程目标:AX=0的算法是怎样的?消元时要保证:零空间不会改变。若主元为0,则看下面是否有可以互换的行,或右边是否有可以互换的列。A的目标是化为阶梯矩阵。非0主元的个数:秩,这就是秩在算法下的定义。化为阶梯矩阵后,寻找主变量。先找到主元所在的列(主列),剩余的列称为自由列,表示可以任意分配数值给这些列所对应的解向量的元素。