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、四象限,且与x轴交于C点,动点P在反比例函数y=(x>0)上,求△PCD面积的最小值及此时点P的坐标;18:..(3)已知点M的坐标为(0,2),经过点M且在第一、二、三象限的“湘依直线”与抛物线y=x2+(m﹣2)x+m+2相交与A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若0≤x1≤2,0≤x2≤2,求m的取值范围.【答案】(1)y=x﹣6或y=﹣x+6;(2)△PCD面积的最小值是24,此时点P的坐标是(4,4);(3)m的取值范围是1≤m≤3.【解析】(1)由“湘依直线”的定义知,直线l与直线y=x或y=﹣“湘依直线”表达式为:y=x+b或y=﹣x+b,将A(6,0)代入,得0=6+b,或0=﹣6+b,由此求得b值,即可求点A的“湘依直线”表达式;(2)先求得过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4,再求得C点的坐标为(﹣4,0),即可得△OCD是等腰直角三角形,所以CD=,可知当过点P的直线与直线CD垂直时,△PCD面积的最小,由此即可解答;(3)求得过点M的“湘依直线”为y=x+2,把抛物线的解析式和过点M的“湘依直线”联立后整理可得x2+(m﹣3)x+m=0,根据根与系数的关系可x1+x2=3﹣m,x1?x2=≤x1≤2,0≤x2≤2,可知0≤x1+x2≤4,0≤x1?x2≤4且(m﹣3)2﹣4m≥“湘依直线”的定义知,直线l与直线y=x或y=﹣x平行.(1)设点A的“湘依直线”表达式为:y=x+b或y=﹣x+b,将A(6,0)代入,得0=6+b,或0=﹣6+b解得b=﹣6或b=“湘依直线”表达式为:y=x﹣6或y=﹣x+6;19:..(2)∵点D的坐标为(0,﹣4),过点D的“湘依直线”图象经过第二、三、四象限,∴过点D的“湘依直线”为y=﹣x﹣4,∴C(﹣4,0),即△OCD是等腰直角三角形,∴CD=4.∵线段CD的长度为定值,∴当过点P的直线与直线CD垂直时,△PCD面积的最小,又∵点P在反比例函数y=(x>0)图象上,∴点P是线段CD的垂直平分线与双曲线的交点,如图,∵直线CD与直线y=﹣x平行,∴点P在直线y=x上,故设P(a,a),∴a=,解得a=4(舍去负值).此时P(4,4),S△PCD=×4×(4+2)=,△PCD面积的最小值是24,此时点P的坐标是(4,20:..4);(3)∵点M的坐标为(0,2),过点M的“湘依直线”经过第一、二、三象限,∴过点M的“湘依直线”为y=x+2,则由题意知,整理,得x2+(m﹣3)x+m=0∴x1+x2=3﹣m,x1?x2=≤x1≤2,0≤x2≤2,∴0≤x1+x2≤4,0≤x1?x2≤4且(m﹣3)2﹣4m≥≤3﹣m≤4,0≤m≤4且(m﹣3)2﹣4m≥,1≤m≤≤m≤,平面直角坐标系中,直线l:y=x+m交x轴于点A,二次函数y=ax2﹣3ax+c(a≠0,且a、c是常数)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,与直线l交于点D,已知CD与x轴平行,且S△ACD:S△ABD=3:5.(1)求点A的坐标;(2)求此二次函数的解析式;(3)点P为直线l上一动点,将线段AC绕点P顺时针旋转α°(0°<α°<360°)得到线段A’C’(点A,A’是对应点,点C,C’是对应点).请问:是否存在这样的点P,使得旋转后点A’和点C’分21:..别落在直线l和抛物线y=ax2﹣3ax+c的图象上?若存在,请直接写出点A’的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)A(﹣1,0);(2)y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣x2+x+2;(3)见解析.【解析】(1)由题意可得C(0,c),且CD∥x轴,可得D(3,c),根据面积比可得AB=(-2m,0)到对称轴的距离2倍是5,可求m,即可求A点坐标.(2)由直线l过D点可求D(3,2),由A,B关于对称轴对称可求B(4,0),则可用交点式求二次函数的解析式.(3)由点A是直线l上一点,绕直线l上点P旋转,且落在直线l上,因此可得点A与点A’重合,或点A绕点P旋转180°得到A’.设C’(a,-a2+a+2)根据中点坐标公式可求A’:(1)22:..∵二次函数y=ax2﹣3ax+c(a≠0,且a、c是常数)的图象与x轴交于A、B两点∴C(0,c,),对称轴是直线x==.∵CD∥x轴.∴C,D关于对称轴直线x=对称.∴D(3,c).∵S△ACD:S△ABD=3:△ACD和△ABD是等高的.∴.∴AB=5.∵直线y=x+m与x轴交于A点,∴A(﹣2m,0).∵点A,点B关于对称轴x=对称.∴2×[﹣(﹣2m)]=5.∴m=.∴A(﹣1,0),且AB=5.∴B(4,0).23:..(2)设抛物线解析式y=a(x+1)(x﹣4).∵m=.∴直线AD解析式y=x+.∵D(3,c)在直线AD上.∴c=+=2.∴D(3,2)且在抛物线上.∴2=a(3+1)(3﹣4).∴a=﹣.∴抛物线解析式y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣x2+x+2.(3)∵点A在直线l上,旋转后A’点落在直线l上,∴点A与点A’重合,或者点A绕着点P旋转180°.当点A与点A’重合时,A’(﹣1,0).当点A绕着点P旋转180°得到A’,点C绕着点P旋转180°得到C’∴AP=A’P,CP=CP’.如图2:24:..设C’(a,﹣a2+a+2).∵C(0,2),CP=CP’.∴P(a,﹣a2+a+2).∵点P在直线l上,∴﹣a2+a+2=a+.即a2﹣2a﹣6=:a1=1+,a2=1﹣.当a1=1+时,y=×(1+)+=.∴P(,).∵AP=A’P.∴A’(2+,).当a2=1﹣时,y=×(1﹣)+=.∴P(,).∵AP=AP’.∴A’(2﹣,).综上所述A’(2﹣,),(2+,),(﹣1,0).解答题图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系:(1)求拱桥所在抛物线的解析式;(2)当水面下降1m时,则水面的宽度为多少?25:..(1)y=﹣x2+2;(2)【解析】(1)设出抛物线解析式,由已知条件求出点B、点C的坐标,将B、C的坐标代入抛物线解析式,列方程组求出未知参数即可;(2)令y=﹣1,解出x,:(1)由题意设抛物线解析式为:y=ax2+b(a≠0),∵当拱顶离水面2m时,水面宽4m,∴点C(0,2),点B(2,0),代入得:,解得:,∴拱桥所在抛物线的解析式为y=﹣x2+2;(2)当水位下降1m时,水位纵坐标为﹣1,令y=﹣1,则﹣1=﹣x2+2,解得x=±,∴,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2交x轴于点A,交y26:..B,过点A的抛物线y=ax2+bx﹣2与y轴交点C,与直线AB的另一个交点为D,点E是线段AD上一点,点F在抛物线上,EF∥y轴,设E的横坐标为m(1)用含a的代数式表示b.(2)当点D的横坐标为8时,求出a的值.(3)在(2)的条件下,设△ABF的面积为S,求出S最大值,并求出此时m的值.【答案】(1)b=1﹣2a;(2)a=﹣;(3)m=5时,△ABF的面积最大,最大值为.【解析】(1)把A(2,0)代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0,即可得b=1﹣2a;(2)先求得点D的坐标为(8,﹣6),代入y=ax2+bx﹣2中,结合(1)即可求得a的值;(3)如图,连接AF、BF,作FH⊥(m,﹣m+2),则F(m,﹣m+m﹣2),构建△ABF的面积为S与m的二次函数关系,利用二次函数的性质解答即可.(1)由题意A(2,0),B(0,2),把A(2,0)代入y=ax2+bx﹣2得到4a+2b﹣2=0,∴b=1﹣:..2)∵D的横坐标为8,x=8时,y=﹣8+2=﹣6,∴D(8,﹣6),把D(8,﹣6)代入y=ax2+bx﹣2得到:64a+8b﹣2=﹣6,∴64a+8(1﹣2a)﹣2=﹣6,∴a=﹣.(3)如图,连接AF、BF,作FH⊥(m,﹣m+2),则F(m,﹣m+m﹣2).∵OA=OB=2,∠AOB=90°,∴∠ABO=45°,AB=2,∵EF∥OB,∴∠FEH=∠OBA=45°,∴FH=EF,∴S△ABF=×AB×FH=×2×(﹣m2+m﹣4)=﹣(m﹣5)2+,∵﹣<0,∴m=5时,△ABF的面积最大,:..1,已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点D和点B关于过点A的直线l:y=﹣x﹣对称.(1)求A、B两点的坐标及二次函数解析式;(2)如图2,作直线AD,过点B作AD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的一动点,、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,请说明理由:(3)将二次函数图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,平移后的二次函数图象上存在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点F,使得∠MAF=45°?若存在,请求出点F坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)A(﹣,0),B(,0);抛物线解析式y=x2+x﹣;(2)12;(3)(0,),(0,﹣)【解析】(1)在y=mx2+3mx﹣m中令y=0,解方程求得x的值即可求得A、B的坐标,继而根据已知求出点D的坐标,把点D坐标代入函数解析式y=mx2+3mx﹣m利用待定系数法求得m即可得函数解析式;29:..2)先求出直线AD解析式,再根据直线BE∥AD,求得直线BE解析式,继而可得点E坐标,如图2,作点P关于AE的对称点P’,作点E关于x轴的对称点E’,根据对称性可得PQ=P’Q,PE=EP’=P’E’,从而有DQ+PQ+PE=DQ+P’Q+P’E’,可知当D,Q,E’三点共线时,DQ+PQ+PE值最小,即DQ+PQ+PE最小值为DE’,根据D、E’坐标即可求得答案;(3)分情况进行讨论即可得答案.(1)∵令y=0,∴0=mx2+3mx﹣m,∴x1=,x2=﹣,∴A(﹣,0),B(,0),∴顶点D的横坐标为﹣,∵直线y=﹣x﹣与x轴所成锐角为30°,且D,B关于y=﹣x﹣对称,∴∠DAB=60°,且D点横坐标为﹣,∴D(﹣,﹣3),∴﹣3=m﹣m﹣m,∴m=,∴抛物线解析式y=x2+x﹣;(2)∵A(﹣,0),D(﹣,﹣3),∴直线AD解析式y=﹣x﹣,∵直线BE∥AD,30:..BE解析式y=﹣x+,∴﹣x﹣=﹣x+,∴x=,∴E(,﹣3),如图2,作点P关于AE的对称点P’,作点E关于x轴的对称点E’,根据对称性可得PQ=P’Q,PE=EP’=P’E’,∴DQ+PQ+PE=DQ+P’Q+P’E’,∴当D,Q,E’三点共线时,DQ+PQ+PE值最小,即DQ+PQ+PE最小值为DE’,∵D(﹣,﹣3),E’(,3),∴DE’=12,∴DQ+PQ+PE最小值为12;(3)∵抛物线y=(x+)2﹣3图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,∴平移后解析式y=x2,31:..当x=3时,y=3,∴M(3,3),如图3若以AM为直角边,点M是直角顶点,在AM上方作等腰直角△AME,则∠EAM=45°,直线AE交y轴于F点,作MG⊥x轴,EH⊥MG,则△EHM≌△AMG,∵A(﹣,0),M(3,3),∴E(3﹣3,3+),∴直线AE解析式:y=x+,∴F(0,),若以AM为直角边,点M是直角顶点,在AM上方作等腰直角△AME,同理可得:F(0,﹣).32