文档介绍：该【2023年中考数学压轴题专题23 二次函数推理计算与证明综合问题【含答案】 】是由【1781111****】上传分享，文档一共【40】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2023年中考数学压轴题专题23 二次函数推理计算与证明综合问题【含答案】 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..二次函数推理计算与证明综合问题】(2022?北京)在平面直角坐标系中,点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上,设抛物线的对称轴为直线x=t.(1)当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值;(2)点(x,m)(x≠1)<n<c,【例2】(2022?绍兴)已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).(1)求b,c的值.(2)当﹣4≤x≤0时,求y的最大值.(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.【例3】(2022?青岛)已知二次函数y=x2+mx+m2﹣3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).(1)求m的值;(2)判断二次函数y=x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.【例4】(2022?杭州)设二次函数y=2x2+bx+c(b,c是常数)的图象与x轴交于A,B两1点.(1)若A,B两点的坐标分别为(1,0),(2,0),(2)若函数y的表达式可以写成y=2(x﹣h)2﹣2(h是常数)的形式,求b+(3)设一次函数y2=x﹣m(m是常数),若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x﹣m)(x﹣m﹣2)的形式,当函数y=y﹣y的图象经过点(x,0)时,求x﹣【例5】(2022?安顺)在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,:点(1,1),(,),(﹣,﹣),……都是和谐点.(1)判断函数y=2x+1的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;(2)若二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(,).求a,c的值;②若1≤x≤m时,函数y=ax2+6x+c+(a≠0)的最小值为﹣1,最大值为3,求实数m的取值范围.:..题).(2022?瑞安市校级三模)已知抛物线=ax2﹣2ax﹣2+a2(a≠0).(1)求这条抛物线的对称轴;若该抛物线的顶点在x轴上,求a的值;(2)设点P(m,y),Q(4,y)在抛物线上,若y<y,.(2022?西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)、点B(x2,y2)为抛物线y=ax2﹣2ax+a(a≠0)上的两点.(1)求抛物线的对称轴;(2)当﹣2<x1<﹣1且1<x2<2时,试判断y1与y2的大小关系并说明理由;(3)若当t<x1<t+1且t+2<x2<t+3时,存在y1=y2,.(2022?新野县三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+2.(1)抛物线的对称轴为直线,抛物线与y轴的交点坐标为;(2)若当x满足1≤x≤5时,y的最小值为﹣6,.(2022?萧山区二模)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+(a﹣1)x﹣1.(1)若该函数的图象经过点(1,2),求该二次函数图象的顶点坐标.(2)若(x1,y1),(x1,y2)为此函数图象上两个不同点,当x1+x2=﹣2时,恒有y1=y2,试求此函数的最值.(3)当a<0且a≠﹣1时,判断该二次函数图象的顶点所在象限,.(2022?盈江县模拟)抛物线C:y=x2+bx+c的对称轴为x=1,且与y轴交点的纵坐标为1﹣3.(1)求b,c的值;(2)抛物线C:y=﹣x2+mx+:抛物线C的顶点Q也在抛物线C上;21②若m=8,点E是在点P和点Q之间抛物线C上的一点,过点E作x轴的垂线交抛物线1C2于点F,.(2022?沂水县二模)抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣4,0),B(1,5);点P(2,c),Q(x,y)(1)求抛物线的顶点坐标;(2)若x0>﹣6,比较c、y0的大小;(3)若直线y=m与抛物线交于M、N两点,(M、N两点不重合),当MN≤5时,.(2022?姜堰区二模)设一次函数y1=2x+m+n和二次函数y2=x(2x+m)+n.(1)求证:y,y的图象必有交点;12:..)若>0,y1,y2的图象交于点A(x1,a)、B(x2,b),其中x1<x2,设C(x3,b)为y2图象上一点,且x3≠x2,求x3﹣x1的值;(3)在(2)的条件下,如果存在点D(x1+2,c)在y2的图象上,且a>c,.(2022?西城区校级模拟)已知抛物线y=x2﹣4mx+4m2﹣1.(1)求此抛物线的顶点的坐标;(2)若直线y=n与该抛物线交于点A、B,且AB=4,求n的值;(3)若这条抛物线经过点P(2m+1,y),Q(2m﹣t,y),且y<y,.(2022?黄岩区一模)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+3与直线y=x+(1)当抛物线y=ax2+bx+3与直线y=x+1两个交点的横坐标分别为﹣;②直接写出当y1>y2,时x的取值范围;(2)设y=y1﹣y2,当x=m时y=M,x=n时y=N,当m+n=1(m≠n)时,M=:a+b=.(2022?路桥区一模)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=x2﹣(m+2)x+m(m是常数).(1)求证:不论m取何值,该二次函数的图象与x轴总有两个交点;(2)若点A(2m+1,7)在该二次函数的图象上,求该二次函数的解析式;(3)在(2)的条件下,若抛物线y=x2﹣(m+2)x+m与直线y=x+t(t是常数)在第四象限内有两个交点,.(2022?安徽模拟)已知:抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P.(1)若抛物线经过(﹣1,﹣2)时,求抛物线解析式;(2)设P点的纵坐标为yp,当yp取最小值时,抛物线上有两点(x,y),(x,y),且x11221<x2≤﹣2,比较y1与y2的大小;(3)若线段AB两端点坐标分别是A(0,2),B(2,2),当抛物线与线段AB有公共点时,.(2022?富阳区一模)已知抛物线y=a(x﹣1)(x﹣).(1)若抛物线过点(2,1),求抛物线的解析式;(2)若该抛物线上任意不同两点M(x,y)、N(x,y)都满足:当x<x<0时,(x1122121﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0,试判断点(2,﹣9)在不在此抛物线上;(3)抛物线上有两点E(0,n)、F(b,m),当b≤﹣2时,m≤n恒成立,试求a的取值范围.:..(2022?河东区二模)已知抛物线=a(x+3)(x﹣4)与y轴交于点A(0,﹣2).(Ⅰ)求抛物线y=a(x+3)(x﹣4)的解析式及顶点坐标;(Ⅱ)设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B,点P为x轴上一动点,点D满足∠DPA=90°,PD=PA.(i)若点D在抛物线上,求点D的坐标;(ii)点E(2,﹣)在抛物线上,连接PE,当PE平分∠APD时,.(2022?长春模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0,﹣1)和(2,7),点A在这个抛物线上,设点A的横坐标为m.(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标.(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧),点B的横坐标为﹣1﹣△ABC是以AB为底的等腰三角形时,求OABC的面积.②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G,当顶点C在图象G上,记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h,求h与m之间的函数关系式.(3)设点D的坐标为(m,2﹣m),点E的坐标为(1﹣m,2﹣m),点F在坐标平面内,以A、D、E、F为顶点构造矩形,当此抛物线与矩形有3个交点时,.(2022?长春二模)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A,过点A作直线l垂直于y轴.(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示);(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折,其余部分保持不变,组成图形G,点M(x1,y),N(x,y)①当m=0时,若x<x,判断y与y的大小关系,并说明理由;1212②若对于x1=m﹣1,x2=m+1,都有y1>y2,求m的取值范围;(3)当图象G与直线y=m+2恰好有3个公共点时,.(2022?开福区校级一模)已知:抛物线C:y=ax2+bx+c(a>0).1(1)若顶点坐标为(1,1),求b和c的值(用含a的代数式表示);(2)当c<0时,求函数y=﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值;(3)若不论m为任何实数,直线与抛物线C1有且只有一个公共点,求a,b,c的值;此时,若k≤x≤k+1时,抛物线的最小值为k,.(2022?安徽模拟)已知二次函数y=ax2﹣x+c的图象经过点A(﹣2,2),该图象与直线x=2相交于点B.(1)求点B的坐标;:..)当>0时,求该函数的图象顶点纵坐标的最小值;(3)点M(m,0)、N(n,0)>﹣2,n<3时,.(2022?江都区一模)对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足y≤M,,,函数y=﹣(x﹣3)2+2是有上界函数,其上确界是2.(1)函数y=x2+2x+1和②y=2x﹣3(x≤5)中是有上界函数的为(只填序号即可),其上确界为;(2)若反比例函数y=(a≤x≤b,a>0)的上确界是b+1,且该函数的最小值为2,求a、b的值;(3)如果函数y=﹣x2+2ax+2(﹣1≤x≤3)是以6为上确界的有上界函数,.(2022?亭湖区校级一模)已知抛物线y=ax2﹣(3a﹣1)x﹣2(a为常数且a≠0)与y轴交于点A.(1)点A的坐标为;对称轴为(用含a的代数式表示);(2)无论a取何值,抛物线都过定点B(与点A不重合),则点B的坐标为;(3)若a<0,且自变量x满足﹣1≤x≤3时,图象最高点的纵坐标为2,求抛物线的表达式;(4)将点A与点B之间的函数图象记作图象M(包含点A、B),若将M在直线y=﹣2下方的部分保持不变,上方的部分沿直线y=﹣2进行翻折,可以得到新的函数图象M,若图1象M1上仅存在两个点到直线y=﹣6的距离为2,.(2022?义安区模拟)已知抛物线的图象经过坐标原点O.(1)求抛物线解析式.(2)若B,C是抛物线上两动点,直线BC:y=kx+b恒过点(0,1),设直线OB为y=kx,1直线OC为y=k2x.①若B、C两点关于y轴对称,②求证:无论k为何值,:..】(2022?北京)在平面直角坐标系中,点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上,设抛物线的对称轴为直线x=t.(1)当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值;(2)点(x0,m)(x0≠1)<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围.【分析】(1)将点(1,m),(3,n)代入抛物线解析式,再根据m=n得出b=﹣4a,再求对称轴即可;(2)再根据m<n<c,可确定出对称轴的取值范围,【解答】解:(1)将点(1,m),(3,n)代入抛物线解析式,∴,∵m=n,∴a+b+c=9a+3b+c,整理得,b=﹣4a,∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣=2;∴t=2,∵c=2,∴抛物线与y轴交点的坐标为(0,2).(2)∵m<n<c,∴a+b+c<9a+3b+c<c,解得﹣4a<b<﹣3a,∴3a<﹣b<4a,∴<﹣<,即<t<=时,x=2;0当t=2时,x0=3.∴x0的取值范围2<x0<3.【例2】(2022?绍兴)已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).(1)求b,c的值.(2)当﹣4≤x≤0时,求y的最大值.(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.【分析】(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可;:..)根据的取值范围,二次函数图象的开口方向和对称轴,结合二次函数的性质判定y的最大值即可;(3)根据对称轴为x=﹣3,结合二次函数图象的性质,分类讨论得出m的取值范围即可.【解答】解:(1)把(0,﹣3),(﹣6,﹣3)代入y=﹣x2+bx+c,得b=﹣6,c=﹣3.(2)∵y=﹣x2﹣6x﹣3=﹣(x+3)2+6,又∵﹣4≤x≤0,∴当x=﹣3时,y有最大值为6.(3)当﹣3<m≤0时,当x=0时,y有最小值为﹣3,当x=m时,y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3,∴﹣m2﹣6m﹣3+(﹣3)=2,∴m=﹣2或m=﹣4(舍去).②当m≤﹣3时,当x=﹣3时y有最大值为6,∵y的最大值与最小值之和为2,∴y最小值为﹣4,∴﹣(m+3)2+6=﹣4,∴m=或m=(舍去).综上所述,m=﹣2或.【例3】(2022?青岛)已知二次函数y=x2+mx+m2﹣3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).(1)求m的值;(2)判断二次函数y=x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.【分析】(1)将(2,4)代入解析式求解.(2)由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数.【解答】解:(1)将(2,4)代入y=x2+mx+m2﹣3得4=4+2m+m2﹣3,解得m1=1,m2=﹣3,又∵m>0,∴m=1.(2)∵m=1,∴y=x2+x﹣2,∵Δ=b2﹣4ac=12+8=9>0,∴二次函数图象与x轴有2个交点.:..】(2022?杭州)设二次函数=2x2+bx+c(b,c是常数)的图象与x轴交于A,B两1点.(1)若A,B两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数y1的表达式及其图象的对称轴.(2)若函数y的表达式可以写成y=2(x﹣h)2﹣2(h是常数)的形式,求b+(3)设一次函数y=x﹣m(m是常数),若函数y的表达式还可以写成y=2(x﹣m)(x211﹣m﹣2)的形式,当函数y=y1﹣y2的图象经过点(x0,0)时,求x0﹣m的值.【分析】(1)根据A、B两点的坐标特征,可设函数y1的表达式为y1=2(x﹣x1)(x﹣x2),其中x,x是抛物线与x轴交点的横坐标;12(2)把函数y=2(x﹣h)2﹣2,化成一般式,求出对应的b、c的值,再根据b+c式子的1特点求出其最小值;(3)把y,y代入y=y﹣y求出y关于x的函数表达式,再根据其图象过点(x,0),把12120(x0,0)代入其表达式,形成关于x0的一元二次方程,解方程即可.【解答】解:(1)∵二次函数y=2x2+bx+c过点A(1,0)、B(2,0),1∴y=2(x﹣1)(x﹣2),即y=2x2﹣6x+∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=.(2)把y=2(x﹣h)2﹣2化成一般式得,1y=2x2﹣4hx+2h2﹣∴b=﹣4h,c=2h2﹣2.∴b+c=2h2﹣4h﹣2=2(h﹣1)2﹣+c的值看作是h的二次函数,则该二次函数开口向上,有最小值,∴当h=1时,b+c的最小值是﹣4.(3)由题意得,y=y1﹣y2=2(x﹣m)(x﹣m﹣2)﹣(x﹣m)=(x﹣m)[2(x﹣m)﹣5].∵函数y的图象经过点(x0,0),∴(x﹣m)[2(x﹣m)﹣5]=∴x0﹣m=0,或2(x0﹣m)﹣5=﹣m=0或x0﹣m=.【例5】(2022?安顺)在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,:点(1,1),(,),(﹣,﹣),……都是和谐点.:..)判断函数=2x+1的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;(2)若二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(,).求a,c的值;②若1≤x≤m时,函数y=ax2+6x+c+(a≠0)的最小值为﹣1,最大值为3,求实数m的取值范围.【分析】(1)设函数y=2x+1的和谐点为(x,x),可得2x+1=x,求解即可;(2)将点(,)代入y=ax2+6x+c,再由ax2+6x+c=x有且只有一个根,Δ=25﹣4ac=0,两个方程联立即可求a、c的值;②由①可知y=﹣x2+6x﹣6=﹣(x﹣3)2+3,当x=1时,y=﹣1,当x=3时,y=3,当x=5时,y=﹣1,则3≤m≤5时满足题意.【解答】解:(1)存在和谐点,理由如下,设函数y=2x+1的和谐点为(x,x),∴2x+1=x,解得x=﹣1,∴和谐点为(﹣1,﹣1);(2)①∵点(,)是二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的和谐点,∴=a+15+c,∴c=﹣a﹣,∵二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点,∴ax2+6x+c=x有且只有一个根,∴Δ=25﹣4ac=0,∴a=﹣1,c=﹣;②由①可知y=﹣x2+6x﹣6=﹣(x﹣3)2+3,∴抛物线的对称轴为直线x=3,当x=1时,y=﹣1,当x=3时,y=3,当x=5时,y=﹣1,∵函数的最大值为3,最小值为﹣1;当3≤m≤5时,函数的最大值为3,最小值为﹣1.:..题).(2022?瑞安市校级三模)已知抛物线=ax2﹣2ax﹣2+a2(a≠0).(1)求这条抛物线的对称轴;若该抛物线的顶点在x轴上,求a的值;(2)设点P(m,y),Q(4,y)在抛物线上,若y<y,【分析】(1)把解析式化成顶点式,根据顶点式求得对称轴和顶点坐标,根据顶点在x轴上得到关于a的方程,解方程求得a的值;(2)根据二次函数的性质,分两种情况即可求出m的范围.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣2+a2=a(x﹣1)2+a2﹣a﹣2,∴抛物线的对称轴为直线x=,则a2﹣a﹣2=0,∴a=2或﹣1.(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1,则Q(4,y2)关于直线x=1对称点的坐标为(﹣2,y2),∴当a>0时,若y1<y2,m的取值范围为:﹣2<m<4;当a<0时,若y<y,m的取值范围为:m<﹣2或m>.(2022?西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)、点B(x2,y2)为抛物线y=ax2﹣2ax+a(a≠0)上的两点.(1)求抛物线的对称轴;(2)当﹣2<x1<﹣1且1<x2<2时,试判断y1与y2的大小关系并说明理由;(3)若当t<x1<t+1且t+2<x2<t+3时,存在y1=y2,求t的取值范围.【分析】(1)先化抛物线的表达式为y=a(x﹣1)2+1,依此可求抛物线的对称轴;(2)利用二次函数性质即可求得答案;(3)利用二次函数性质存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等即可解答.【解答】解:(1)y=ax2﹣2ax+a=a(x﹣1)2,∴抛物线的对称轴为x=1;(2)∵﹣2<x1<﹣1,1<x2<2,∴1﹣x1>1﹣x2,∴A离对称轴越远,若a>0,开口向上,则y1>y2,若a<0,开口向下,则y1<y2,(3)∵t<x<t+1,t+2<x<t+3,12:..=y2,则t+1<1且t+2>1,∴t<0且t>1,∴存在1﹣x1=x2﹣1,即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等,∴1﹣t>t+2﹣1且1﹣(t+1)<t+3﹣1,∴﹣1<t<.(2022?新野县三模)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+2.(1)抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线与y轴的交点坐标为(0,2);(2)若当x满足1≤x≤5时,y的最小值为﹣6,求此时y的最大值.【分析】(1)由对称轴方程,将对应系数代入可得,令抛物线解析式中的x=0,求得y,答案可得;(2)利用当x满足1≤x≤5时,y的最小值为﹣6,可求得a的值,再利用二次函数图象的特点可确定y的最大值.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x=﹣==0,则y=2.∴抛物线y=ax2﹣4ax+2与y轴的交点为(0,2).故答案为:x=2;(0,2).(2)∵抛物线y=ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x=2,∴顶点在1≤x≤5范围内,∵当x满足1≤x≤5时,y的最小值为﹣6,∴当a<0时,抛物线开口向下,x=5时y有最小值﹣6,∴25a﹣20a+2=﹣6,解得a=﹣,∴抛物线为y=﹣x2+x+2当x=2时,y=﹣×22+×2+2=,∴>0,抛物线开口向上,x=2时y有最小值﹣6,∴4a﹣8a+2=﹣6,解得a=2,∴抛物线为y=2x2﹣8x+2,当x=5时,y=2×25﹣8×5+2=12,:..,.(2022?萧山区二模)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+(a﹣1)x﹣1.(1)若该函数的图象经过点(1,2),求该二次函数图象的顶点坐标.(2)若(x1,y1),(x1,y2)为此函数图象上两个不同点,当x1+x2=﹣2时,恒有y1=y2,试求此函数的最值.(3)当a<0且a≠﹣1时,判断该二次函数图象的顶点所在象限,并说明理由.【分析】(1)直接将点(1,2)代入即可求得a的值,然后根据顶点公式求得即可;(2)利用题意,﹣===﹣1求解a,然后把解析式化成顶点式,根据二次函数的性质即可得到结论;(3)利用顶点公式求得x=﹣=﹣+,y==﹣,由a<0且a≠﹣1即可判断x<0,y>0,即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限.【解答】解:(1)∵函数图象过点(1,2),∴将点代入y=ax2+(a﹣1)x﹣1,解得a=2,∴二次函数的解析式为y=2x2+x﹣1,∴x=﹣=﹣,∴y=2×﹣﹣1=﹣,∴该二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣);(2)函数y=ax2+(a﹣1)x﹣1的对称轴是直线x=﹣,∵(x1,y1),(x2,y2)为此二次函数图象上的两个不同点,且x1+x2=﹣2,则y1=y2,∴﹣===﹣1,∴a=﹣1,∴y=﹣x2﹣2x﹣1=﹣(x+1)2≤0,∴当x=﹣1时,函数有最大值0;(3)∵y=ax2+(a﹣1)x﹣1,∴由顶点公式得:x=﹣=﹣+,y==﹣,∵a<0且a≠﹣1,:..<,y>0,∴.(2022?盈江县模拟)抛物线C:y=x2+bx+c的对称轴为x=1,且与y轴交点的纵坐标为1﹣3.(1)求b,c的值;(2)抛物线C:y=﹣x2+mx+:抛物线C的顶点Q也在抛物线C上;21②若m=8,点E是在点P和点Q之间抛物线C上的一点,过点E作x轴的垂线交抛物线1C2于点F,求EF长度的最大值.【分析】(1)根据对称轴公式x=﹣,即可求出b的值,由抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3即可求得c的值;(2)①由(1)可得抛物线C1的解析式,从而可得抛物线C1的顶点P的坐标,由抛物线C经过抛物线C的顶点可得n=﹣m﹣3,从而可得抛物线C为:y=﹣x2+mx﹣m﹣3,根212据对称轴公式x=﹣,即可求出顶点Q的坐标,再将点Q的横坐标代入抛物线C1的解析式中,即可证明;②先分别求出点P和点Q的横坐标,由①可得n=﹣11,设点E横坐标为x,由点E在抛物线C1上可表示出纵坐标,由题可知点F与点E横坐标相同,代入抛物线C2的解析式中可得点F纵坐标,即可求解.【解答】(1)解:∵抛物线C:y=x2+bx+c对称轴为x=1,且与y轴交点的纵坐标为﹣3,1∴x=﹣=1,c=﹣3,∴b=﹣2;(2)①证明:∵抛物线C的解析式为:y=x2﹣2x﹣3,1∴顶点P的坐标为:(1,﹣4),∵抛物线C经过抛物线C的顶点,21∴﹣4=﹣12+m+n,∴n=﹣m﹣3,∴抛物线C为:y=﹣x2+mx﹣m﹣3,2∴对称轴为:直线x=﹣=,将x=代入y=﹣x2+mx﹣m﹣3,得::..﹣m﹣,∴点Q坐标为:(,﹣m﹣3),将x=代入y=x2﹣2x﹣3,得:y=﹣m﹣3,∴点Q也在抛物线C1上;解:由①知n=﹣m﹣3,∵m=8,∴n=﹣11,∴抛物线C的解析式为:y=﹣x2+8x﹣11,对称轴为:直线x==4,2设点E横坐标为x,∵点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点,∴点E坐标为(x,x2﹣2x﹣3),1<x<4,∵过点E作x轴的垂线交抛物线C于点F,2∴点F横坐标为x,∴点F坐标为(x,﹣x2+8x﹣11),∴EF=﹣x2+8x﹣11﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+8x﹣11﹣x2+2x+3=﹣2x2+10x﹣8=﹣2(x2﹣5x+4)=﹣2(x2﹣5x+)+=﹣2(x﹣)2+,∴当x=时,EF取得最大值,最大值为,∴.(2022?沂水县二模)抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣4,0),B(1,5);点P(2,c),Q(x0,y0)是抛物线上的点.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)若x>﹣6,比较c、y的大小;00:..)若直线=m与抛物线交于M、N两点,(M、N两点不重合),当MN≤5时,求m的取值范围.【分析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线解析式,化成顶点式即可求得顶点坐标;(2)根据二次函数的性质判断即可;(3)设M、N的横坐标分别为x、x,则x、x是方程x2+4x=m的两个根,根据根与系数1212的关系得到x+x=﹣4,xx=﹣m,由MN≤5,则(x﹣x)2≤25,所以(x+x)2﹣4xx1212121212≤25,即16+4m≤25,解得即可.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣4,0),B(1,5),∴,解得,∴抛物线为y=x2+4x,∵y=x2+4x=(x+2)2﹣4,∴抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣4);(2)∵抛物线为y=x2+4x的对称轴为直线x=﹣2,且开口向上,∴当x<﹣2时,y随x的增大而减小,∵点P(2,c)关于对称轴的对称点为(﹣6,c),∵x0>﹣6,∴当﹣6<x0<2时,则c>y0;当x≥2时,则c≤y;00(3)设M、N的横坐标分别为x1、x2,∵直线y=m与抛物线交于M、N两点,(M、N两点不重合),∴x、x是方程x2+4x=m的两个根,12∴x1+x2=﹣4,x1x2=﹣m,∵MN≤5,∴(x﹣x)2≤25,12∴(x+x)2﹣4xx≤25,即16+4m≤25,1212解得m≤,∵抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣4),∴函数的最小值为﹣4,∴﹣4<m≤.7.(2022?姜堰区二模)设一次函数y=2x+m+n和二次函数y=x(2x+m)+(1)求证:y,y的图象必有交点;12:..)若>0,y1,y2的图象交于点A(x1,a)、B(x2,b),其中x1<x2,设C(x3,b)为y2图象上一点,且x3≠x2,求x3﹣x1的值;(3)在(2)的条件下,如果存在点D(x1+2,c)在y2的图象上,且a>c,求m的取值范围.【分析】(1)证明y=y时,方程2x+m+n=x(2x+m)+n有解,进而转化证明一元二次方12程的根的判别式非负便可;(2)由y1=y2,求出x1与x2,进而求得b,由b的值,求得x3的值,进而得x3﹣x1的值;(3)把点A(x,a)、点D(x+2,c)代入y=x(2x+m)+n,根据a>c得x(2x+m)11211+n﹣2(x+2)2﹣m(x+2)﹣n>0,化简得4x+4+m<0,由(2)得x=﹣,代入求解1111即可.【解答】(1)证明:当y1=y2时,得2x+m+n=x(2x+m)+n,化简为:2x2+(m﹣2)x﹣m=0,△=(m﹣2)2+8m=(m+2)2≥0,∴方程2x+m+n=x(2x+m)+