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上海市杨浦区2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷(一模) 解析版.pdf

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】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。:..2020-2021学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷(一模)一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)=x2﹣x,下列说法中,正确的是()=△ABC中,如果sinA=,cotB=,那么这个三角形一定是()°,那么点B处小明看点A处小丽的仰角是()°°°°△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,下列条件中,能判定DE∥BC的是()A.=B.=C.=D.=,正确的是(),那么=||、都是单位向量,那么==﹣,那么∥||=||,那么=,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,下列说法中,错误的是()=SDOCB.=△△C.=D.=二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分):3(+2)﹣2(﹣)=.=(1﹣a)x2+1的开口向上,:,,点P是线段AB的黄金分割点(AP<BP),那么线段AP:..=x2﹣4x+3与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,那么△=x2,把该抛物线向上或向下平移,如果平移后的抛物线经过点A(2,2),,已知小李推铅球时,铅球运动过程中离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=﹣x2+x+,,已知在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,=,联结DE交对角线AC于点O,,已知在△ABC中,∠ACB=90°,点G是△ABC的重心,CG=2,BC=4,那么cos∠GCB=.,已知在△ABC中,∠C=90°,AB=10,cotB=,正方形DEFG的顶点G、F分别在AC、BC上,点D、E在斜边AB上,那么正方形DEFG的边长为.:..:有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形,如图,已知在对余四边形ABCD中,AB=10,BC=12,CD=5,tanB=,,已知在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,将△ABC绕点A旋转,点B、C分别落在点B1、C1处,如果BB1∥AC,联结C1B1交边AB于点D,、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.(10分)计算:.20.(10分)已知一个二次函数的图象经过点A(﹣1,0)、B(0,3)、C(2,3).(1)求这个函数的解析式及对称轴;(2)如果点P(x1,y1)、Q(x2,y2)在这个二次函数图象上,且x1<x2<0,那么y1y2.(填“<”或“>”)21.(10分)如图,已知在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,点M为边BC上一点,BM=BC,联结AM交DE于点N.:..(1)求的值;(2)设=,=,如果=,请用向量、.(10分)如图,为了测量河宽,在河的一边沿岸选取B、C两点,对岸岸边有一块石头A,在△ABC中,测得∠B=64°,∠C=45°,BC=50米,求河宽(即点A到边BC的距离)().(参考数据:≈,sin64°=,cos64°=,tan64°=)23.(12分)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线BD、AC相交于点E,过点A作AF∥DC,交对角线BD于点F.(1)求证:=;(2)如果∠ADB=∠ACD,求证:线段CD是线段DF、.(12分)已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣(x﹣m)2+4与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(点C在点D左侧),顶点A在第一象限,异于顶点A的点P(1,n)在该抛物线上.:..(1)如果点P与点C重合,求线段AP的长;(2)如果抛物线经过原点,点Q是抛物线上一点,tan∠OPQ=3,求点Q的坐标;(3)如果直线PB与x轴的负半轴相交,.(14分)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D为边BC上一动点(与点B、C不重合),点E为AB上一点,∠EDB=∠ADC,过点E作EF⊥AD,垂足为点G,交射线AC于点F.(1)如果点D为边BC的中点,求∠DAB的正切值;(2)当点F在边AC上时,设CD=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及定义域;(3)联结DF,如果△CDF与△AGE相似,求线段CD的长.:..2020-2021学年上海市杨浦区九年级(上)期末数学试卷(一模)参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)=x2﹣x,下列说法中,正确的是()=1【分析】先用配方法把二次函数化成顶点式,即可判断B、D,由a的正负判断有最大值和最小值即可判断C,看(0,0)是否满足y=x2﹣x即可判断A.【解答】解:∵y=x2﹣x=(x﹣)2﹣,∴顶点坐标是:(,﹣),对称轴是直线x=,∵a=1>0,∴开口向上,有最小值,∵当x=0时,y=x2﹣x=0,∴图象经过坐标原点,故选:△ABC中,如果sinA=,cotB=,那么这个三角形一定是()【分析】求出∠A,∠B的值即可判断.【解答】解:∵sinA=,cotB=,∴∠A=30°,∠B=60°,∴∠C=180°﹣30°﹣60°=90°,∴△ABC是直角三角形,故选:°,那么点B处小明看点A处小丽的仰角是()°°°°【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角,应相等即可得结:..论.【解答】解:因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角,°,点B处小明看点A处小丽的仰角是35°.故选:△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,下列条件中,能判定DE∥BC的是()A.=B.=C.=D.=【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可.【解答】解:当,则DE∥BC,故选项A不符合题意;当=,则DE∥BC,故选项B符合题意;当=,则DE∥BC,故选项C不符合题意;由于=,DE∥BC不一定成立,:,正确的是(),那么=||、都是单位向量,那么==﹣,那么∥||=||,那么=【分析】根据平面向量的定义、共线向量的定义以及平面向量的模的定义进行分析判断.:..【解答】解:A、如果为单位向量,且与方向相同时,那么=||,、如果、都是单位向量且方向相同,那么=,、如果=﹣,则向量与﹣的大小相等、方向相反,那么∥,、若||=||,那么与的模相等,但是方向不一定相等,即=不一定成立,:,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,下列说法中,错误的是()=SDOCB.=△△C.=D.=【分析】如图,利用三角形面积公式得到SABC=SDCB,则SAOB=SDOC,于是可对A△△△△选项进行判断;根据平行线分线段成比例定理得到=,再利用三角形面积公式得到=,于是可对B选项进行判断;证明△AOD∽△COB,利用相似三角形的性质可对C选项进行判断;利用两平行线的距离的定义得到点B到AD的距离等于点A到BC的距离,然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断.【解答】解:如图,∵AD∥BC,∴SABC=SDCB,△△即SAOB+SOBC=SOBC+SDOC,△△△△SAOB=SDOC,所以A选项的结论正确;△△∵AD∥BC,∴=,∵=,:..∴=;所以B选项的结论正确;∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴=()2,所以C选项的结论错误;∵AD∥BC,∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离,∴=,所以D选项的结论正确;故选:、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分):3(+2)﹣2(﹣)=+8.【分析】乘法结合律也同样应用于平面向量的计算.【解答】解:原式=3+6﹣2+2)=+:+=(1﹣a)x2+1的开口向上,那么a的取值范围是a<1.【分析】根据二次函数的性质可知,当抛物线开口向上时,二次项系数1﹣a>0.【解答】解:因为抛物线y=(1﹣a)x2+1的开口向上,所以1﹣a>0,即a<:a<:,那么他的高度上升了50米.【分析】设他沿着垂直方向升高了x米,根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度,根据勾股定理计算即可.【解答】解:设他沿着垂直方向升高了x米,:..:,∴,由勾股定理得,x2+()2=1302,解得,x=50,即他沿着垂直方向升高了50米,故答案为:,点P是线段AB的黄金分割点(AP<BP),那么线段AP的长是(6﹣2)厘米.【分析】先根据黄金分割的定义求出BP的长,即可得出答案.【解答】解:∵点P是线段AB的黄金分割点,AP<BP,AB=4厘米,∴BP=AB=(2﹣2)厘米,∴AP=AB﹣BP=4﹣(2﹣2)=(6﹣2)厘米,故答案为:(6﹣2).=x2﹣4x+3与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,那么△ABC的面积等于3.【分析】根据抛物线y=x2﹣4x+3,可以求得该抛物线与x轴和y轴的交点,然后即可得到点A、B、C的坐标,从而可以求得△ABC的面积.【解答】解:∵抛物线y=x2﹣4x+3=(x﹣1)(x﹣3),∴当y=0时,x=1或x=3,当x=0时,y=3,∴点A、B、C的坐标为分别为(1,0),(3,0),(0,3),∴AB=2,∴△ABC的面积是:=3,故答案为:=x2,把该抛物线向上或向下平移,如果平移后的抛物线经过点A(2,2),那么平移后的抛物线的表达式是y=x2﹣2.【分析】可设所求的函数解析式为y=x2+k,把A坐标代入可得平移后的抛物线.【解答】解:设所求的函数解析式为y=x2+k,∵点A(2,2)在抛物线上,∴2=22+k:..=﹣,∴平移后的抛物线的表达式是y=x2﹣:y=x2﹣,已知小李推铅球时,铅球运动过程中离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=﹣x2+x+,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米.【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可.【解答】解:由题意可得:y=﹣x2+x+=﹣(x2﹣8x)+=﹣(x﹣4)2+3,故铅球运动过程中最高点离地面的距离为::,已知在平行四边形ABCD中,点E在边AB上,=,联结DE交对角线AC于点O,那么的值为.【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD,AB=CD,则利用比例的性质和等量代换得到=,接着证明△AOE∽△COD,然后利用相似比得到的值.【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵=,:..=,∴=,∵∥CD,∴△AOE∽△COD,∴==.故答案为..如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,点G是△ABC的重心,CG=2,BC=4,那么cos∠GCB=.【分析】延长CG交AB于D,如图,根据三角形重心的定义和性质得到DG=CG=1,AD=BD,再利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD=BD=AD=3,所以∠DCB=∠B,然后在Rt△ACB中利用余弦的定义求出cosB的值,从而得到cos∠GCB的值.【解答】解:延长CG交AB于D,如图,∵点G是△ABC的重心,∴DG=CG=1,AD=BD,∵∠ACB=90°,∴CD=BD=AD=2+1=3,∴AB=6,∠DCB=∠B,在Rt△ACB中,cosB===,∴cos∠GCB=.故答案为.:..中,∠C=90°,AB=10,cotB=,正方形DEFG的顶点G、F分别在AC、BC上,点D、E在斜边AB上,那么正方形DEFG的边长为.【分析】先利用余切的定义得到cotB==,则可设BC=t,则AC=2t,AB=t,所以t=10,求出得到BC=2,AC=4,过C点作CH⊥AB于H,交GF于M,如图,设正方形的边长为x,利用面积法得到CH=4,则CM=8﹣x,然后证明△CGF∽△CAB,则利用相似比得到=,从而解方程求出x即可.【解答】解:∵∠C=90°,∴cotB==,设BC=t,则AC=2t,∴AB==t,∴t=10,解得t=2,∴BC=2,AC=4,过C点作CH⊥AB于H,交GF于M,如图,设正方形的边长为x,易得四边形DGMH为矩形,∴MH=DG=x,∵CH×AB=×AC×BC,:..==,∴CM=CH﹣MH=8﹣x,∵GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,∴=,即=,解得x=,:有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形,如图,已知在对余四边形ABCD中,AB=10,BC=12,CD=5,tanB=,那么边AD的长为9.【分析】如图,过端午A作AH⊥BC于H,过点C作CE⊥AD于E,,DE即可解决问题【解答】解:如图,过端午A作AH⊥BC于H,过点C作CE⊥AD于E,△ABH中,tanB==,∴可以假设AH=3k,BH=4k,则AB=5k=10,∴k=2,:..=,BH=8,∵BC=12,∴CH=BC﹣BH=12﹣8=4,∴AC===2,∵∠B+∠D=90°,∠D+∠ECD=90°,∴∠ECD=∠B,在Rt△CED中,tan∠ECD==,∵CD=5,∴DE=3,CE=4,∴AE===6,∴AD=AE+DE=:,已知在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,将△ABC绕点A旋转,点B、C分别落在点B1、C1处,如果BB1∥AC,联结C1B1交边AB于点D,那么的值为.【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B1AB=30°,由直角三角形的性质可求DB1=DE,DB=DE﹣DE,即可求解.【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB1于E,:..∵∠B=45°,∠C=60°,∴∠CAB=75°,∵BB1∥AC,∴∠CAB=∠ABB1=75°,∵将△ABC绕点A旋转,∴AB=AB1,∠AB1C1=∠ABC=45°,∴∠AB1B=∠ABB1=75°,∴∠B1AB=30°,又∵DE⊥AB1,∠AB1C1=45°,∴AD=2DE,AE=DE,DE=B1E,∴AB1=DE+DE=AB,DB1=DE,∴DB=AB﹣AD=DE﹣DE,∴==,故答案为:.三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.(10分)计算:.【分析】把特殊角的三角函数值代入,根据二次根式的混合运算法则计算,得到答案.【解答】解:原式=:..===4﹣.(10分)已知一个二次函数的图象经过点A(﹣1,0)、B(0,3)、C(2,3).(1)求这个函数的解析式及对称轴;(2)如果点P(x1,y1)、Q(x2,y2)在这个二次函数图象上,且x1<x2<0,那么y1<y2.(填“<”或“>”)【分析】(1)根据待定系数法求得即可;(2)可根据二次函数增减性进行解答.【解答】解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).根据题意,得,解得.∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3,∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1;(2)由(1)可知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,∵点P(x1,y1)、Q(x2,y2)在这个二次函数图象上,且x1<x2<0,∴y1<y2,故答案为<.21.(10分)如图,已知在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,点M为边BC上一点,BM=BC,联结AM交DE于点N.(1)求的值;(2)设=,=,如果=,请用向量、表示向量.:..【分析】(1)利用平行线截线段成比例解答;(2)根据已知条件和三角形法则求得,然后利用(1)的结论求向量.【解答】(1)解:∵BM=BC,∴=.∵DE∥BC,∴=,∴==.即:的值是;(2)解:∵=,=,∴=﹣=﹣.∵DE∥BC,=,∴==.∴DN=(1)知,=,则NE=2DN.∴=2=2×=﹣.:..22.(10分)如图,为了测量河宽,在河的一边沿岸选取B、C两点,对岸岸边有一块石头A,在△ABC中,测得∠B=64°,∠C=45°,BC=50米,求河宽(即点A到边BC的距离)().(参考数据:≈,sin64°=,cos64°=,tan64°=)【分析】作AD⊥BC与D,由三角函数得出CD=AD,AD=BD,由已知条件得出关于AD的方程,解方程即可.【解答】解:过点A作AD⊥:在Rt△ACD中,∵∠C=45°,∴tanC==1,∴CD=AD,在Rt△ABD中,∵∠B=64°,∴tan∠B==,∴BD=BD,∵BC=BD+CD=50米,∴AD+AD=50米,解得:AD≈(米).答:.:..23.(12分)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线BD、AC相交于点E,过点A作AF∥DC,交对角线BD于点F.(1)求证:=;(2)如果∠ADB=∠ACD,求证:线段CD是线段DF、BE的比例中项.【分析】(1)根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF=∠BCD,则可证明△DAF∽△BCD,利用相似比得到=,再证明△ADE∽△CBE,则=,然后利用等量代换得到结论;(2)证明△DCE∽△DBC,则根据相似比得DC2=DE?DB,再利用(1)中的结论得到=,利用等量代换得到DC2=DF?BE,从而得到结论.【解答】证明:(1)∵AD∥BC,∴∠CBD=∠ADF,∠ADC+∠BCD=180°,∵AF∥CD,∴∠ADC+∠DAF=180°,∴∠DAF=∠BCD,∴△DAF∽△BCD,∴=,∵AD∥BC,∴△ADE∽△CBE,:..∴=,∴=;(2)∵∠ADB=∠ACD,∠ADB=∠CBD,∴∠ECD=∠CBD,而∠CDE=∠BDC,∴△DCE∽△DBC,∴=,∴DC2=DE?DB,∵=,∴DE?DB=DF?BE,∴DC2=DF?BE,即线段CD是线段DF、.(12分)已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣(x﹣m)2+4与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(点C在点D左侧),顶点A在第一象限,异于顶点A的点P(1,n)在该抛物线上.(1)如果点P与点C重合,求线段AP的长;(2)如果抛物线经过原点,点Q是抛物线上一点,tan∠OPQ=3,求点Q的坐标;(3)如果直线PB与x轴的负半轴相交,求m的取值范围.【分析】(1)由题意,抛物线y=﹣(x﹣m)2+4经过点C(1,0),利用待定系数法求出m,再求出点P的坐标即可解决问题.(2)如图1中,延长PQ交X轴于F,设F(t,0).证明OF=PF,由此构建方程求出t,再求出直线PF的解析式,构建方程组确定交点坐标即可.:..(3)构建不等式组,解决问题即可.【解答】解:(1)由题意,抛物线y=﹣(x﹣m)2+4经过点C(1,0),∴(1﹣m)2=4,解得m=3或﹣1(舍弃),∴A(3,4),P(1,0),∴PA==2.(2)∵抛物线y=﹣(x﹣m)2+4经过点C(0,0),∴m2=4,解得m=2或﹣2(舍弃),∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+4,当x=1时,n=3,∴P(1,3),如图1中,延长PQ交X轴于F,设F(t,0).∵P(1,3),∴tan∠POF=3,∵tan∠OPQ=3,∴tan∠POF=tan∠OPQ,∴∠POF=∠OPQ,∴OF=PF,∴t2=32+(t﹣1)2,∴t=5,∴F(5,0),:..∴直线PF的解析式为y=﹣x+,由,解得(即点P)或,∴Q(,).(3)如图2中,由题意,,解得<m<2且m≠.(14分)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D为边BC上一动点(与点B、C不重合),点E为AB上一点,∠EDB=∠ADC,过点E作EF⊥AD,垂足为点G,交射线AC于点F.(1)如果点D为边BC的中点,求∠DAB的正切值;(2)当点F在边AC上时,设CD=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及定义域;(3)联结DF,如果△CDF与△AGE相似,求线段CD的长.:..【分析】(1)过点D作DH⊥,AH即可解决问题.(2)如图2中,过点A作AT⊥AC,延长FE交AT于T,直线DE交AT于K,=AT=8,再证明△ACD∽△TAF,可得==,推出AF=2CD=2x,可得结论.(3)利用△CFD与△ADH相似,可得=或=,由此构建方程求出CD,当点F在下方时,同法可求CD.【解答】解:(1)如图1中,过点D作DH⊥AB于H.∵CA=CB=4,∠ACB=90°,∴AB===4,∵CD=DB=2,∠B=45°,∠DHB=90°,∴DH=BH=DB=,∴AH=AB﹣BH=3,∴tan∠DAB==.(2)如图2中,过点A作AT⊥AC,延长FE交AT于T,直线DE交AT于K,交AC的:..延长线于R.∵AT⊥AC,BC⊥AC,∴AT∥BC,∴∠ADC=∠DAK,∠EDB=∠AKD,∵∠ADC=∠EDB,∴∠DAK=∠DKA,∴DA=DK,∵∠R+∠DKA=90°,∠DAC+∠DAK=90°,∴∠DAC=∠R,∴DA=DR,∵DC⊥AR,∴AC=CR=4,∵∠AFE+∠CAD=90°,∠AKE+∠R=90°,∴∠AFE=∠AKE,∵∠EAF=∠EAK=45°,AE=AE,∴△AEF≌△AEK(AAS),∴AF=AK,∵∠RAK=∠TAF=90°,∠AKR=∠AFT,∴△AKR≌△AFT(ASA),∴AR=AT=8,∠R=∠T=∠DAC,∵∠ACD=∠TAF,∴△ACD∽△TAF,:..==,∴=CD=2x,∵CF+AF=4,∴y+2x=4,∴y=4﹣2x(0<x≤2).(3)如图3中,连接DF,作DH⊥AB于H.∵∠GAE=∠DAH,∠AGE=∠AHD,∴△AGE∽△AHD,∵△CDF与△AGE相似,∴△CFD与△ADH相似,∴=或=,∴=或=,整理得,x2+8x﹣16=0或x2﹣16x﹣16=0,解得,x=4﹣4或﹣4﹣4(舍弃)或8﹣4或8+4(舍弃),∴CD=4﹣4或8﹣4,当点F在下方时,同法可得,CD=,综上所述,满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或.