文档介绍：该【对数知识点整理 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【7】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【对数知识点整理 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..1对数得概念如果a(a>0,且a≠1)得b次幂等于N,即abN,那么数b叫做以a为底N得对数,记作:logNb,其中a叫做对数得底数,N叫做真数、a由定义知:①负数与零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③log10,loga1,alogabb,logabbaaa特别地,以10为底得对数叫常用对数,记作logN,简记为lgN;以无理数10e(e=2、71828?)为底得对数叫做自然对数,记作logN,简记为lnN躪擄逊颞缚阏罷。e2对数式与指数式得互化式子名称指数式abN(底数)(指数)(幂值)对数式logNb(底数)(对数)(真数)a3对数得运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)log(MN)logMlogN(2log(MN)logMlogN(3)aaaaaalogMbblogMaa问:①公式中为什么要加条件a>0,a≠1,M>0,N>0?②logan_______(n∈R)a③对数式与指数式得比较、(学生填表)运算性质mnmnmnmnaaa,aaamnmn(a)a(a>0且a≠1,n∈R)log(MN)logMlogN,log(MN)logMlogN(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破aaaaaa对数定义中,为什么要规定a>0,,且a≠1?理由如下:①若a<0,则N得某些值不存在,例如log-28②若a=0,则N≠0时b不存在;N=0时b不惟一,可以为任何正数③若a=1时,则N≠1时b不存在;N=1时b也不惟一,可以为任何正数为了避免上述各种情况,所以规定对数式得底就是一个不等于1得正数解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式:①54=625;②2-6=164;③3x=27;④13m=573、(2)将下列对数式写成指数式:①log1216=-4;②log2128=7;:..③log327=x;④lg0、01=-2;⑤ln10=2、303;⑥lgπ=k、解析由对数定义:ab=NlogaN=b、解答(1)①log5625=4、②log2164=-6、③log327=x、④log135、73=m、解题方法指数式与对数式得互化,必须并且只需紧紧抓住对数得定义:ab=NlogaN=b、(2)①12-4=16、②27=128、③3x=27、鯪嚕诩蝉髅铲餡。④10-2=0、01、⑤e2、303=10、⑥10k=π、2根据下列条件分别求x得值:(1)log8x=-23;(2)log2(log5x)=0;(3)logx27=31+log32;(4)logx(2+3)=-1、解析(1)对数式化指数式,得:x=8-23=?(2)log5x=20=1、x=?(3)31+log32=33×log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x、x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14、(2)log5x=20=1,x=51=5、(3)logx27=3×3log32=3×2=6,∴x6=27=33=(3)6,故x=3、(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3、解题技巧①转化得思想就是一个重要得数学思想,对数式与指数式有着密切得关系,在解决有关问题时,经常进行着两种形式得相互转化、涨詒滚鶯贪蔼复。②熟练应用公式:loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n、3已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12得值、解析思路一,已知对数式得值,要求指数式得值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式得运算求值;思路二,对指数式得两边取同底得对数,再利用对数式得运算求值解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1、解法二对所求指数式两边取以a为底得对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=5124-1×3×5=0,∴A=1、解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便,因此以指数形式出现得式子,可利用取对数得方法,把指数运算转化为对数运算、4擾毵祸藓无奪荫。设x,y均为正数,且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)得取值范围、解析一个等式中含两个变量x、y,对每一个确定得正数x由等式都有惟一得正数y与之对应,故y就是x得函数,从而lg(xy)也就是x得函数、因此求lg(xy)得取值范围实际上就是一个求函数值域得问题,怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知得等式两边也取对数?櫪驪轲瓊驳谦邬。解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,两边取对数得:lgx+(1+lgx)lgy=0、即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1)、令lgx=t,则lgy=-t1+t(t≠-1)、∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t、解题规律对一个等式两边取对数就是解决含有指数式与对数式问题得常用得有效方法;而变量替换可把较复杂问题转化为较简单得问题、设S=t21+t,得关于t得方程t2-St-S=0有实数解、玛辎缧麗訕贫擱。:..∴Δ=S2+4S≥0,解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)得取值范围就是(-∞,-4〕∪〔0,+∞)、5求值:(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2;(2)2log32-log3329+log38-52log53;(3)设lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b得值;(4)求7lg20·12lg0、7得值、解析(1)25=52,50=5×10、都化成lg2与lg5得关系式、(2)转化为log32得关系式、(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间得关系,能否从中求出ab得值呢攝轵?报饪釣質砺。(4)7lg20·12lg0、7就是两个指数幂得乘积,且指数含常用对数,设x=7lg20·12lg0、7能否先求出lgx,再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2(1·+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102(·2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2、(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7、(3)由已知lgab=lg(a-2b)2(a-2b>0),∴ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0、∴ab=1或ab=4,这里a>0,b>0、若ab=1,则a-2b<0,∴ab=1(舍去)、∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2、(4)设x=7lg20·12lg0、7,则lgx=lg20l×g7+lg0、7×lg12=(1+lg2)lg·7+(lg7-1)(-lg·2)=lg7+lg2=14,∴x=14,故原式=14、解题规律①对数得运算法则就是进行同底得对数运算得依据,对数得运算法则就是等式两边都有意义得恒等式,运用法则进行对数变形时要注意对数得真数得范围就是否改变,为防止增根所以需要检验,如(3)、鲚钩憶徹騏僑笔。②对一个式子先求它得常用对数值,再求原式得值就是代数运算中常用得方法,如(4)、6证明(1)logaN=logca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0);(2)logab·logbc=logac;(3)logab=1logba(b>0,b≠1);(4)loganbm=mnlogab、:..解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底得对数求出b就可能得证、(2)中logbc能否也换成以a为底得对数、(3)应用(1)将logab换成以b为底得对数、(4)应用(1)将loganbm换成以a为底得对数、解答(1)设logaN=b,则ab=N,两边取以c为底得对数得:b·logca=,∴b=logca、∴logaN=logca、(2)由(1)logbc=logaclogab、所以logab·logbc=logab·logaclogab=logac、(3)由(1)logab=logbblogba=1logba、解题规律(1)中logaN=logca叫做对数换底公式,(2)(3)(4)就是(1)得推论,它们在对数运算与含对数得等式证明中经常应用、对于对数得换底公式,既要善于正用,也要善于逆用、由、緹遠遗咼桢鹨鉍。(4)(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab7已知log67=a,3b=4,求log127、解析依题意a,b就是常数,求log127就就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能否将log127转化为以6为底得对数,进而转化为以3为底呢?鸺騾鋁铵鲨缌乌。解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62、又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b、∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b、∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b、解题技巧利用已知条件求对数得值,一般运用换底公式与对数运算法则,把对数用已知条件表示出来,这就是常用得方法技巧8撸瞒邇渗階挛砻。已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z、(1)求满足2x=py得p值;(2)求与p最接近得整数值;(3)求证:12y=1z-1x、解析已知条件中给出了指数幂得连等式,能否引进中间量m,再用m分别表示x,y,z?又想,对于指数式能否用对数得方法去解答?嬤飴鈹討蝦軛穡。解答(1)解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316,轺伞統顙鋏擻贵。∴p=log316、解法二设3x=4y=m,取对数得:x·lg3=lgm,ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4、由2y=py,得2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316、(2)∵2=log39<log316<log327=3,∴2<p<3、又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log32716<log3169,∴p-2>3-p、∴与p最接近得整数就是3、解题思想:..①提倡一题多解、不同得思路,不同得方法,应用了不同得知识或者就是相同知识得灵活运用,既发散了思维,又提高了分析问题与解决问题得能力,何乐而不为呢?輜寿漬幗娇鯔琐。②(2)中涉及比较两个对数得大小、这就是同底得两个对数比大小、因为底3>1,所以真数大得对数就大,问题转化为比较两个真数得大小,这里超前应用了对数函数得单调性,以鼓励学生超前学****自觉学****得学****积极性、(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x,y,z∈R+,壘詮贶瘓蠍欄库。∴k>1,则x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm,12y=12·lg4lgm=lg2lgm,绣濫怀凭鲁鹧紲。故12y=1z-1x、解法二3x=4y=6z=m,则有3=m1x①,4=m1y②,6=m1z③,③÷①,得m1z-1x=63=2=m12y、∴1z-1x=12y、9已知正数a,b满足a2+b2=7ab、求证:logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1)、鶇腸繭槧駿铒紡。解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab、求证式中真数都只含a,b得一次式,想:能否将真数中得一次式也转化为二次,进而应用a2+b2=7ab?铢輞飙俨亩瞼庑。解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab就是技巧之一、②应用a2+b2=7ab将真数得与式转化为ab得乘积式,以便于应用对数运算性质就是技巧之二、12logma+b32=12logma2+b2+2ab9、鲠莱牵础鳟簀嵝。∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb)、思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间得关系、设真数N=a×10n、其中N>0,1≤a<10,n∈Z、这就就是用科学记数法表示真数N、其科学性体现在哪里?我们只要研究数N得常用对数,就能揭示其中得奥秘、将韃镓辄饗镭騷。解析由已知,对N=a×10n取常用对数得,lgN=n+lga、真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga、n∈Z,1≤a<10,∴lga∈〔0,1)、我们把整数n叫做N得常用对数得首数,把lga叫做N得常用对数得尾数,它就是正得纯小数或0、小结:①lgN得首数就就是N中10n得指数,尾数就就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同得不同正数它们得常用对数得尾数相同,只就是首数不同;③当N≥1时,lgN得首数n比它得整数位数少1,当N∈(0,1)时,lgN得首数n就是负整数,|n|-1与N得小数点后第一个不就是0得有效数字前得零得个数相同、螢艫鹉观鉅师尘。师生互动什么叫做科学记数法?:..N>0,lgN得首数与尾数与a×10n有什么联系?有效数字相同得不同正数其常用对数得什么相同?什么不同?2若lgx得首数比lg1x得首数大9,lgx得尾数比lg1x得尾数小03804,且lg0、203、求得值、餌暂滢脫莹谜詢。4=13083,lgx,x,lg1x解析①lg0、2034=13083,即lg0、2034=1+0、3083,1就是对数得首数,0、3083就是对数得尾数,就是正得纯小数;②若设lgx=n+lga,则lg1x也可表出、穌禪际奁巋电解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0、3804)、尴。又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+03804)=-n-lga,其中n-9就是首数,lga+03804就是尾数,就是首数就是尾数,所以:铱瑷买掃鲲瑷縝。-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)1-lgan-9=-(n+1)lga+0、3804=1-lgan=4,lga=0、3083、∴lgx=4+0、3083=4、3083,∵lg0、2034=1、3083,∴x=2、034×104、∴lg1x=-(4+0、3083)=5、6917、解题规律把lgx得首数与尾数,lg1x得首数与尾数都瞧成未知数,根据题目得等量关系列方程、再由同一对数得首数等于首数,尾数等于尾数,求出未知数得值,就是解决这类问题得常用方法、3缈鳃坞揚镂襪張。计算:(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga)、解析(1)中、2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号,如何化简?(2)中分母已无法化简,分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确得解题思路与方法,不要被表面得繁、难所吓倒、解答(1)原式=log2-3(2-3)-1+12log6(2+3+2-3)2贤罴剮块癩鳐纨。=-1+12log6(4+22+32-·3)=-1+12log66=-12、(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2、丽鱺错僂聞开规。4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z得大小、解析已知就是对数等式,要比较大小得就是根式,根式能转化成指数幂,所以,对数等式应设法转化为指数式、解答设log2x=log3y=log5z=m<0、则x=2m,y=3m,z=5m、x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m、下面只需比较2与33,55得大小:(2)6=23=8,(33)6=32=9,所以2<33、又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55、∴55<2<33、又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限得图像,如图2-7-1巯諾詁闖鸭線裝。解题规律①转化得思想就是一个重要得数学思想,对数与指数有着密切得关系,在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式得相互转化、槨鋰娅钙谍嘔鎔。②比较指数相同,底不同得指数幂(底大于0)得大小,要应用多个指数函数在同一坐:..标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)得性质进行比较閾蓮攔撵黌蔺烛。①就是y=(55)x,②就是y=(2)x,③就是y=(33)x、指数m<0时,图像在第二象限从下到上,底从大到小、所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z、聵储礫闭諮捣谡。